非齐次边界条件的处理

我们只讨论定解问题是线性的情况，处理的原则是利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化为另一未知函数的齐次边界条件问题。

(一) 一般处理方法

\quad 例1 自由振动问题
$$\begin{gathered} u_{tt}-a^2{u}_{xx}=0 \\ u{|}_{x=0}=\mu (t),u{|}_{x=l}=v(t), \\ u{|}_{t=0}=\phi (x),u_t|t=0=\psi (x). \end{gathered}$$边界条件(第二个等式)是非齐次的。
\quad 选取一个函数$v(x,t)$，使其满足非齐次边界条件，为了简单起见，不妨取$v(x,t)$为x的线性函数，即$$v(x,t)=A(t)x+B(t).$$将此式代入到非齐次边界条件中，解得$$v(x,t)=\frac{[v(t)-\mu (t)]}{l}x+\mu (t)$$利用叠加原理，令$$u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)$$将上面的两个式子代入定解问题中，得到$w(x,t)$的定解问题$$\begin{gathered} w_{tt}-a^2{w}_{xx}=-v_{tt}+a^2{v}_{xx}=\frac{x}{l}[{\mu }^{{}^{\prime \prime }}(t)-v^{{}^{\prime \prime }}(t)]-{\mu }^{{}^{\prime \prime }}(t), \\ w{|}_{x=0}=0,w{|}_{x=l}=0, \\ w{|}_{t=0}=\phi (x)-v{|}_{t=0}=\phi (x)+\frac{1}{l}[\mu (0)-v(0)]x-\mu (0), \\ {w}_t{|}_{t=0}=\psi (x)-v_t{|}_{t=0}=\psi (x)+\frac{1}{l}[{\mu }^{{}^{\prime }}(0)-v^{{}^{\prime }}(0)]x-{\mu }^{{}^{\prime }}(0) \end{gathered}$$显然$w(x,t)$的方程一般是非齐次的，但是上面的定解问题具有齐次边界条件，可以使用分离变数法和傅里叶级数法进行求解。
\quad 我们要注意下$x=0$和$x=l$两端都是第二类非齐次边界条件$u_x{|}_{x=0},u_x{|}_{x=l}=v(t)$的情况。我们一般不将v取作是x的线性函数，此时可以试试$$v(x,t)=A(t)x^2+B(t)x.$$

(二) 特殊处理情况

\quad 例2 弦的$x=0$端固定，$x=l$端受迫作谐振动$A\sin \omega t$,弦的初始位移和初始速度都是零，求弦的振动。这个定解问题是$$\begin{gathered} u_{tt}-a^2{u}_{xx}=0(0<x<l), \\ u{|}_{x=0}=0,u{|}_{x=l}=A\sin \omega t, \\ u{|}_{t=0}=0,u_t{|}_{t=0}=0. \end{gathered}$$$x=l$端为非齐次边界条件。
\quad 在这里介绍一种简单方法，由于求解的弦在$x=l$端受迫作谐振动$A\sin \omega t$情况下的振动，它一定有一个特解，满足齐次方程（上面的第一个式子），非齐次边界条件（第二个式子），且跟$x=l$端同步振动，即其时间部分的函数亦为$\sin \omega t$，就是说，特解具有分离变数的形式:$$v(x,t)=X(x)\sin \omega t$$将此式代入齐次方程和边界条件，得$$\{\begin{array}{r}{X}^{{}^{\prime \prime }}+(\frac{\omega }{a}{)}^{2}X=0\\ X(0)=0,X(l)=A\end{array}$$ \quad 通过解上面的常微分方程能够得到$X(x)=[A/\sin (\omega l/a)]\sin (\omega x/a)$，从而$$v(x,t)=\frac{A}{\sin \frac{\omega l}{a}}\sin \frac{\omega x}{a}\sin \omega t,$$于是令$$u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)$$将上面的两个方程代入到原定解问题中，得到$w(x,t)$的定解问题$$\begin{gathered} w_{tt}-a^2{w}_{xx}=-(v_{xx}-a^2{v}_{xx})=0 \\ w{|}_{x=0}=0,w{|}_{x=l}=0 \\ w{|}_{t=0}=0,w_t{|}_{t=0}=-A\omega \frac{\sin (\omega x/a)}{\sin (\omega l/a)} \end{gathered}$$我们得到了齐次方程，齐次边界条件，可用分离变数法求解，其一般解是$$w(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }(A_n\cos \frac{n\pi a}{l}t+B_n\sin \frac{n\pi a}{l}t)\sin \frac{n\pi }{l}x$$其中$A_n,B_n$为$$\begin{gathered} A_n=0, \\ {B}_n=\frac{2}{n\pi a}{\int }_0^l(-A\omega )\frac{\sin (\omega \xi /a)}{\sin (\omega l/a)}\sin \frac{n\pi \xi }{l}d\xi \\ =\frac{-2A\omega }{n\pi a\sin (\omega l/a)}[-\frac{\sin (\omega /a+n\pi /l)\xi }{2(\omega /a+n\pi /l)}+\frac{\sin (\omega /a-n\pi /l)\xi }{2(\omega /a-n\pi /l)}{]}_0^l \\ \frac{A\pi }{n\pi a\sin (\omega l/a)}[\frac{\sin (\omega l/a+n\pi )}{\omega /a+n\pi /l}-\frac{\sin (\omega l/a-n\pi )}{\omega /a-n\pi /l}] \\ =(-1{)}^n\frac{A\omega }{n\pi a}[\frac{1}{\omega /a+n\pi /l}-\frac{1}{\omega /a-n\pi /l}] \\ =(-1{)}^n\frac{2A\omega }{al}\frac{1}{{\omega }^2/a^2-n^2{\pi }^2/l^2} \end{gathered}$$这样，
$$\begin{gathered} w(x,t)=\frac{2A\omega }{al}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{{\omega }^2/a^2-n^2{\pi }^2/l^2}\sin \frac{n\pi at}{l}\sin \frac{n\pi x}{l}, \\ u(x,t)=A\frac{\sin (\omega x/a)}{\sin (\omega l/a)}\sin \omega t \\ +\frac{2A\omega }{al}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{{\omega }^2/a^2-n^2{\pi }^2/l^2}\sin \frac{n\pi at}{l}\sin \frac{n\pi x}{l} \end{gathered}$$