人工智能数学基础01--高等数据基础（导数与微积分）02-优快云博客

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本文介绍了微积分的基本概念，包括切线斜率、定积分的性质和牛顿-莱布尼茨公式。讨论了如何用微积分近似求解曲线面积，并指出在机器学习中，微积分是理解和优化模型的基础。

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微积分

以直代曲
- 对于矩形，其面积 $S = a\times b$ ；可轻松求得，能否用矩形代替曲线形状？？
面积的由来

在a、b之间插入若干个点，这样就得到了n个小区间。
每个小矩形的面积为： $A_{i} = f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 近似得到曲线的面积： $A\approx \sum_{i=1}^{n} f(\xi _{i})\Delta x_{i}$
当分割无限变小，每个小区间的最大长度为 $\lambda$ ，此时 $\lambda \rightarrow 0$
阴影部分面积： $A= \lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$

积分符号的由来

$Sum \rightarrow S \rightarrow \int$

切线的概念

切线的斜率： $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} x} = f'(x)$

基于无穷小的概念， $dx,dy$ 都叫做微分。所谓的微积分就是把这些微分都累积起来。

定积分

积分值和被积函数与积分曲线有关，与积分变量使用什么字母无关
当函数 $f(x)$ 在区间 $\left [ a,b \right ]$ 上的定积分存在时，称 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积

定积分性质： $\int_{a}^{b}f(x)dx = I = \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$

$\int_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx = \int_{a}^{b}f(x)\pm \int_{a}^{b}g(x)dx$
$\int_{a}^{b}kf(x)dx = k\int_{a}^{b}f(x)dx$ (k 为常数)
假设 $a<c<b , \int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx$
如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x) \geqslant 0$ ，则 $\int _{a}^{b}f(x)dx\geqslant 0. (a< b)$

第一值定理：

如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则在积分区间 $[a,b]$ 上至少存在一个点 $\xi$ ，使得 $\int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi )(b-a)$

积分上限函数：

函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，对于定积分 $\int _{a}^{x}f(x)dx$ 每一个取值的 $x$ 都有一个对应的定积分值，记作（上限积分函数）： $\Phi (x) = \int_{a}^{x}f(t)dt$ ，如果 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则积分上限函数就是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的原函数。