人工智能数学基础01--高等数据基础（导数与微分）01

最新推荐文章于 2022-08-05 17:03:57 发布

剑威

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本文介绍了导数的基本概念，包括导数的定义、记法以及可导性的条件。通过举例说明，解释了如何从平均速度过渡到瞬时速度，从而理解导数在表示瞬时变化率中的作用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

导数

定义：

设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的某个邻域 $U(x_{0})$ 内有定义，并设 $x_{0} + \Delta x\in U(x_{0})$ 。

如果：

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$ 存在，

则称：

$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处可导，并称上述极限为 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处的导数

记为： $(a,b)$

$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_{0}-\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=f^{'}(x_{0})=\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}\mid_{x=x_{0}}$

若记 $y=f(x)$ ，则在 $x_{0}$ 点的导数又可记成 $y^{'}(x_{0}), \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\mid _{x=x_{0}},\frac{\mathrm{d} y(x)}{\mathrm{d} x}\mid_{x=x_{0}}$ 等等。

如果 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内每一点都可导，则称 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导， $f^{'}(x)$ 称为 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内的导函数，简称导数。

在定义式中，若记 $x=x_{0}+ \Delta x$ ,则该式可改写为

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=f^{'}(x_{0})$

注：

导数的定义式中，必须要有 $f(x_{0})$ ，并且其中的 $f(x)$ 是 $x_{0}$ 附近的 $x$ 处的函数值，没有这些，就谈不上求导数，在按定义求导数时，必须注意。

举例说明

平均速度 $v=\frac{s}{t}$ ，速度的概念是一个瞬时概念，但如何表示瞬时速度？

瞬时经过的路程 $\Delta s = s(t_{0}+\Delta t) - s(t_{0})$ ，那么这一小段的平均速度就是

$\overline{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t} =\frac{s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})}{\Delta t}$

当 $\Delta t \rightarrow 0$ 时也就是瞬时的速度了：

$v(t_{0})=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \overline {v} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t_{0})}{\Delta t}$

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