赵继超的笔记

这里我们直接使用其结论，即向量的内积为，一个向量在另一个向量方向上的投影长度，乘以被投影向量的长度，如下图所示。接下来基于二维平面上的一个向量来举例。关于内积的原理请参考文章。这里的结果等于 7，这是因为新基。而在我们这里被投影向量为基向量。假设存在一个上述的二维平面向量。假设存在一个二维平面内的向量。这与坐标图中的效果也是一致的。我们认为其为横坐标，那么。数值上就等于横坐标的值，即。数值上等于纵坐标的值。现在，我们更改坐标基为。同理，我们也可以得到。最后，公式化描述结论为。，此新基下的坐标值为。

当坐标基唯一确定后，对应的坐标值也唯一确定。同时向量也可以由坐标值和坐标基线性组合的形式来表示。接下来基于二维平面的一个向量来举例，不过三维空间的情况具有同样的性质和结论。上述例子我们可以看到，无论是在哪个坐标基下，永远存在如下等式。针对三维空间中的向量，同样具有类似的结论。，在不同的坐标系（或称坐标基）下，向量。当向量为二维平面的向量时，可表示为。当向量为三维空间的向量时，可表示为。假设存在一个上述的二维平面向量。由不同的坐标值表示。那么此向量可以表示为。，此新基下的坐标值为。那么此向量可以表示为。

从四元数到欧拉角的转换并不是唯一的，因为对于某些旋转，存在多种欧拉角表示。但是，对于大多数实际应用，可以从一个特定的四元数计算一个特定的欧拉角集。这次基于三维空间，讨论下旋转矩阵的两种表示方法，分别是欧拉角表示法，四元数表示法，以及二者之间的转换关系如何。需要再次强调的是，旋转的顺序很重要，并且会影响最终的结果。总旋转的四元数是这三个四元数的乘积。单位四元数在描述 3D 旋转时有一些优势，其不受欧拉角中的 “万向锁” 问题的影响。四元数是一个扩展的复数系统，常用于表示三维空间中的旋转。

友情提醒：请先服用文章，再来服用本文。

线性回归：线性回归是一个预测方法，它试图找到一个线性函数（对于简单线性回归）或多个线性函数（对于多元线性回归），这些函数可以最好地描述两个（或更多）变量之间的关系。在上述简单线性回归模型（单解释变量，单响应变量）和多元线性回归模型（多解释变量，单响应变量）的基础上，再扩充一种，称之为多解释变量多响应变量的回归模型。回归分析：回归分析是一个更广泛的术语，用于描述一个变量（或多个变量）与一个或多个其他变量之间关系的统计方法。回归分析：探索和建模变量之间的关系，这可能是线性的、非线性的，或者是其他的关系。

数据的线性变换（Linear Transformation）是一个数学上的概念，通常用于更改数据的表示或基准，但不改变数据的本质结构或关系。在实际的应用中，一个矩阵可能同时表示了多种变换，也就是一个矩阵是多种变化的组合。讲解奇异值分解（Sigular Value Decomposition，SVD）的教程有很多，我这里不做赘述，仅记录下自己的理解。同时，如果想直观地了解矩阵是如何操作的，也可以将其应用在标准基向量（如二维空间中的。的作用是旋转，这一点也可以从以下数据运算上看出，即当经过拉伸的。

序号内容1【数理知识】自由度 degree of freedom 及自由度的计算方法2【数理知识】刚体 rigid body 及刚体的运动3【数理知识】刚体基本运动，平动，转动4【数理知识】向量数乘，内积，外积，matlab代码实现5【数理知识】协方差，随机变量的的协方差，随机变量分别是单个数字和向量时的协方差6【数理知识】旋转矩阵的推导过程，基于向量的旋转来实现，同时解决欧式变换的非线性局限文章目录1. 点和向量的表示2. 基于向量推导旋

最简单的方法是使用奇异值分解（SVD），因为许多编程语言（Matlab、Octave、使用 LAPACK 的 C 语言、使用 OpenCV 的 C++ 语言…这个问题尤其出现在三维点云数据注册等任务中，因为这些数据是从三维激光扫描仪或流行的 Kinect 设备等硬件中获取的。要找到最佳旋转方式，我们首先要重新调整两个数据集的中心，使两个中心点都位于原点，如下图所示。个点，它们两两之间距离始终不变，这就满足了可代表一个刚体的条件。个点在前后时刻的坐标，如何求对应刚体的平移矩阵，旋转矩阵？

序号内容1【数理知识】自由度 degree of freedom 及自由度的计算方法2【数理知识】刚体 rigid body 及刚体的运动3【数理知识】刚体基本运动，平动，转动4【数理知识】向量数乘，内积，外积，matlab代码实现5【数理知识】已知 N>=3 个点在前后时刻的坐标，求刚体平移矩阵，旋转矩阵，且这 N>=3 点间距离始终不变代表一个刚体文章目录1. 马同学视频例子2. 计算协方差1. 计算方式一：使用期望值2. 计算方式

刚体就是质点间距离保持不变的质点系。刚体的空间位置由任意与刚体固连的不共线三点决定。

四元数是一个包含四个元素的数，可以更有效地表示和计算旋转。由于变形一般总是微小的，所以可先将物体当作刚体，用理论力学的方法求得加给它的各未知力，然后再用变形体力学，包括材料力学、弹性力学、塑性力学等的理论和方法进行研究。绝对刚体实际上是不存在的，只是一种理想模型，因为任何物体在受力作用后，都或多或少地变形，如果变形的程度相对于物体本身几何尺寸来说极为微小，在研究物体运动时变形就可以忽略不计。这个矩阵的左上角是一个3x3的旋转矩阵，右上角是一个3x1的平移向量，左下角是一个1x3的零向量，右下角是1。

放在最前的一句话：自由度是一个存在于两个学科中的概念，一个是存在于统计学中的自由度，另一个是存在于物理学中的自由度。而我本人需要的是研究物理学中的自由度概念，同时本笔记全篇也是在了解物理学中的自由度。

曲面类型及其曲率取值范围，包括主曲率 principal curvature，高斯曲率 Gaussian curvature，平均曲率 mean curvature

求两个三维空间点的坐标矩阵之间，任意两两点之间的空间距离，matlab 实现

【数理知识】矩阵普通乘积，哈达玛积，克罗内克积，点乘，点积，叉乘，matlab代码实现

向量数乘，内积，外积，matlab代码实现

曲率 curvature，主曲率 principal curvature，高斯曲率 Gaussian curvature，平均曲率 mean curvature

直线，射线与平面，三角形相交算法

最近在做一些 LQR 的研究，发现涉及到了大量的二次型求导以及矩阵求导问题，故简单整理如下。因为是 LQR 的问题，故从一个哈密顿 Hamilton 函数开始吧。有哈密顿函数H=12xTQx+12uTRu+λTAx+λTBuH = \frac{1}{2} x^T Q x + \frac{1}{2} u^T R u + \lambda^T A x + \lambda^T B uH=21​xTQx+21​uTRu+λTAx+λTBu求驻值点时会用到∂∂u   12uTR

介绍若 A0,A1,⋯ ,AlA_0, A_1, \cdots, A_lA0​,A1​,⋯,Al​ 为 lll 个 n×nn \times nn×n 复矩阵，l≥0,Al≠0l \ge 0, A_l \ne 0l≥0,Al​​=0(0表示零矩阵)，则 lll 次矩阵束 (Matrix Pencil) 是定义在复数域上的矩阵值函数L(λ)=∑i=0lλiAiL(\lambda) = \sum_{i=0}^{l} \lambda^i A_iL(λ)=i=0∑l​λiAi​特别的，线性束为A−λB,λ∈

文章目录介绍辛矩阵的性质介绍在数学中，辛矩阵是指一个 2n×2n2n\times 2n2n×2n 的矩阵 MMM（通常布于实数或复数域上），使之满足MTΩM=ΩM^TΩM=ΩMTΩM=Ω其中 MTΩMM^{T}\Omega MMTΩM 表 MMM 的转置矩阵，而 Ω\OmegaΩ 是一个固定的可逆斜对称矩阵；这类矩阵在适当的变化后皆能表为Ω=[0In−In0]\Omega=\left[\begin{matrix}0 & I_n \\-I_n & 0 \\\end{matri

Linear time-invariant differential-algebraic systemsd Ex(t) = Ax(t) + Bu(t),n×nn×nn×n where sE−A∈R[s]sE − A ∈ R[s]sE−A∈R[s]the transfer functionn×m p×n , C ∈ Rp×mdty(t) = Cx(t) + Du(t),is regular, B ∈ RG(s) = C(sE − A)−1B + D.Definition: A rati.

拉格朗日乘数 (Lagrange multipliers)在数学中的最优化问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·拉格朗日命名）是一种寻找多元函数在其变量受到一个或多个条件的约束时的极值的方法。这种方法可以将一个有 nnn 个变量与 kkk 个约束条件的最优化问题转换为一个解有 n+kn + kn+k 个变量的方程组的解的问题。这种方法中引入了一个或一组新的未知数，即拉格朗日乘数，又称拉格朗日乘子，或拉氏乘子，它们是在转换后的方程，即约束方程中作为梯度（gradient）的线性组合中各个向量的系数。

黎卡提 Riccati黎卡提方程 (Riccati equation)代数 Riccati 方程离散代数黎卡提方程求解1. 黎卡提方程2. 迭代法求解3. Matlab 仿真代码黎卡提方程 (Riccati equation)黎卡提方程是最简单的一类非线性方程。形如y′=P(x)y2+Q(x)y+R(x) y'=P(x)y^2+Q(x)y+R(x)y′=P(x)y2+Q(x)y+R(x)的方程称为黎卡提方程。From: 黎卡提方程-百度百科代数 Riccati 方程代数Riccati方程（

Lipschitz条件，即利普希茨连续条件（Lipschitz continuity）。其定义为：对于函数f(x),若其任意定义域中的 x1,x2x_1,x_2x1​,x2​，都存在 L>0L>0L>0，使得 ∣f(x1)−f(x2)∣≤L∣x1−x2∣|f(x_1)-f(x_2)|≤L|x_1-x_2|∣f(x1​)−f(x2​)∣≤L∣x1​−x2​∣其中，LLL 称为 Lipschitz 常数。From: Lipschitz常数、Lipschitz条件...

第4章回到目录无第5章-场论5.1 场5.1.1 场的概念5.1.2 数量场与等值面5.1.3 矢量场与矢量线5.2 方向导数与梯度5.2.1 方向导数5.2.2 梯度的概念5.2.3 梯度的应用5.3 散度与旋度5.3.1 散度5.3.2 旋度5.3.3 雅可比矩阵求散度和旋度5.4 积分定理5.4.1 高斯散度定理5.4.2 斯托克斯定理5.4.3 格林定理5.5 几个重要的矢量场5.5.1 有势场5.5.2 管形场5.5.3 调和场5.1 场5.1.1 场的概念5.1.2 数...

第3章回到目录第5章第4章-矢量分析4.1 矢性函数4.1.1 矢性函数的概念4.1.2 矢性函数极限与连续性4.2 矢性函数的导数与微分4.2.1 矢性函数的导数4.2.2 导失的几何意义与物理意义4.2.3 矢性函数的微分4.3 矢性函数的积分4.3.1 定积分4.3.2 不定积分4.1 矢性函数4.1.1 矢性函数的概念4.1.2 矢性函数极限与连续性4.2 矢性函数的导数与微分4.2.1 矢性函数的导数4.2.2 导失的几何意义与物理意义4.2.3 矢性函数的微分...

第2章回到目录第4章第3章-矢量与矢量空间3.1 矢量代数3.1.1 引言3.1.2 矢量的概念3.1.3 矢量代数3.2 内积与外积3.2.1 内积3.2.2 外积3.2.3 三连乘公式3.3 线、平面与曲面3.3.1 线与平面3.3.2 曲面3.1 矢量代数3.1.1 引言3.1.2 矢量的概念3.1.3 矢量代数3.2 内积与外积3.2.1 内积3.2.2 外积3.2.3 三连乘公式3.3 线、平面与曲面3.3.1 线与平面3.3.2 曲面...

第1章回到目录第3章第2章-拉普拉斯变换2.1 拉普拉斯变换概念与存在定理2.2 拉普拉斯变换的性质2.3 拉普拉斯卷积2.4 拉普拉斯逆变换2.5 拉普拉斯变换的应用2.1 拉普拉斯变换概念与存在定理2.2 拉普拉斯变换的性质2.3 拉普拉斯卷积2.4 拉普拉斯逆变换2.5 拉普拉斯变换的应用...

无回到目录第2章第1章-傅里叶变换1.1 傅里叶级数1.1.1 历史与背景1.1.2 周期现象1.1.3 傅里叶级数狄利克雷定理欧拉公式1.1.4 频谱分析1.1.5 相关应用1.2 傅里叶变换1.3 广义傅里叶变换1.4 傅里叶变换的性质1.5 卷积1.6 傅里叶变换的应用1.1 傅里叶级数1.1.1 历史与背景1.1.2 周期现象1.1.3 傅里叶级数狄利克雷定理欧拉公式ejθ=cos⁡θ+jsin⁡θe^{j\theta} = \cos \theta + j \sin...

无回到目录第1章目录-《数值分析》李庆扬跳转链接跳转链接章节跳转链接第1章

凸包凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。X的凸包可以用X内所有点(X1，…Xn)的凸组合来构造.在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边形，它能包含点集中所有的点。...

第9章-常微分方程初值问题数值解法9.1 引言9.2 简单的数值方法9.3 龙格-库塔方法9.4 单步法的收敛性与稳定性9.5 线性多步法9.6 线性多步法的收敛性与稳定性9.7 一阶方程组与刚性方程组9.1 引言9.2 简单的数值方法9.3 龙格-库塔方法9.4 单步法的收敛性与稳定性9.5 线性多步法9.6 线性多步法的收敛性与稳定性9.7 一阶方程组与刚性方程组...

第8章-矩阵特征值计算8.1 特征值性质和估计8.2 幂法及反幂法8.3 正交变换与矩阵分解8.4 QR 方法8.1 特征值性质和估计8.2 幂法及反幂法8.3 正交变换与矩阵分解8.4 QR 方法

第7章-非线性方程与方程组的数值解法7.1 方程求根与二分法7.2 不动点迭代法及其收敛性7.3 迭代收敛的加速方法7.4 牛顿法7.5 弦截法与抛物线法7.6 求根问题的敏感性与多项式的零点7.7 非线性方程组的数值解法7.1 方程求根与二分法7.2 不动点迭代法及其收敛性7.3 迭代收敛的加速方法7.4 牛顿法7.5 弦截法与抛物线法7.6 求根问题的敏感性与多项式的零点7.7 非线性方程组的数值解法...

第6章-解线性方程组的迭代法6.1 迭代法的基本概念6.2 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法6.3 超松弛迭代法6.4 共轭梯度法6.1 迭代法的基本概念6.2 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法6.3 超松弛迭代法6.4 共轭梯度法...

第4章回到目录第6章第5章-解线性方程组的直接方法5.1 引言与预备知识5.2 高斯消去法5.3 矩阵三角分解法5.4 向量和矩阵的范数5.5 误差分析5.1 引言与预备知识5.2 高斯消去法5.3 矩阵三角分解法5.4 向量和矩阵的范数5.5 误差分析...

第3章回到目录第5章第4章-数值积分与数值微分4.1 数值积分概论4.2 牛顿-柯特斯公式4.3 复合求积公式4.4 龙贝格求积公式4.5 自适应求积公式4.6 高斯求积公式4.7 多重积分4.8 数值微分4.1 数值积分概论4.2 牛顿-柯特斯公式4.3 复合求积公式4.4 龙贝格求积公式4.5 自适应求积公式4.6 高斯求积公式4.7 多重积分4.8 数值微分...

第2章回到目录第4章第3章-函数逼近与快速傅里叶变换3.1 函数逼近的基本概念3.2 正交多项式3.3 最佳平方逼近3.4 曲线拟合的最小二乘法3.5 有利逼近3.6 三角多项式逼近与快速傅里叶变换3.1 函数逼近的基本概念3.2 正交多项式3.3 最佳平方逼近3.4 曲线拟合的最小二乘法3.5 有利逼近3.6 三角多项式逼近与快速傅里叶变换...

第1章回到目录第3章第2章-插值法2.1 引言2.1.1 插值问题的提出2.1.2 多项式插值2.2 拉格朗日插值2.2.1 线性插值与抛物线插值2.2.2 拉格朗日插值多项式2.2.3 插值余项与误差估计2.3 均差与牛顿插值多项式2.3.1 插值多项式的逐次生成2.3.2 均差及其性质2.3.3 牛顿插值多项式2.3.4 差分形式的牛顿插值公式2.4 埃尔米特插值2.4.1 重节点均差与泰勒插值2.4.2 两个典型的埃尔米特插值2.5 分段低次插值2.5.1 高次插值的病态性质2.5...