01微分几何

本系列是学习《Polygon Mesh Processing》的一点思考。

微分几何(Differential Geometry)

没记错的话，所有的向量都是列向量，加个转置符号就是行向量。

曲线(Curve)

曲线是一个函数的图像表示。就比如高中物理中最经常出现的位移-时间函数，他在二维平面由s-t表示，也就变成了参数方程。曲线的正切向量定义为曲线的求导，也就是曲线的斜率。把这个向量旋转90°就是曲线在这个点的法向量。在参数方程中，比如x1=(u, u)T和x2=(u²，u²)T这两个参数方程描述的曲线在[0,1]上是完全一样的，也就是说一条曲线当它的参数不同时，也是有不同的参数表示，这就意味着什么呢？（个人感觉参数表示是二维的微分域，三维曲线的微分域是二维的，是否也说明对于同一个意义的二维微分量，不同的参数表示也能有相同的意义？）接下来介绍的是曲线微分几何里的一些属性，比如长度、曲率，它们的表示独立于各自不同的参数域。

弧长(Arc Length)

弧长由曲线的正切向量积分得到，可能会和网格参数化相关的知识关联。

曲率(Curvature)

曲线某点的曲率在数学上是函数的二阶导数，在几何上，曲率刻画了一条曲线相对于直线弯曲的程度。当曲率为0，曲线为直线；为非零常量，曲线是一个曲率圆。
密切圆：在曲线的弯曲处，一个圆能够恰好和曲线有一部分的对接、重合。曲率也是密切圆的半径的倒数。

度量属性(Metric Properties)

把一个向量从二维上的参数空间映射到三维的曲面上（二维参数空间的某一个方向向量映射到三维曲面某点对应的方向导数），利用参数空间上的两条直线确定方向（曲面上方向任意取，最后都能得出该点的切平面，能够达到符号变，意义没变的效果）曲面的法向量就由这两个不平行的向量做向量积得到。在经过一系列公式推导（链式求导法则(chain rule)、曲线的参数化表示），就可以得到雅克比矩阵（方向向量和对应方向导数的向量能成线性关系多亏这个雅克比矩阵）。雅克比矩阵就是映射过程发生变化差异的一个度量，比如角度、距离、面积的变化。
这里说的第一基本型可以这样理解：

比如有一张纸，纸上面有一条线 AB，我们知道 AB 的长度，如果我们把纸卷成圆柱，那么 AB 之间的距离会有两个概念，一个是在空间中的， AB 之间的直线距离（外蕴extrinsic），另一个还是在曲面上从 A到B的距离 （内蕴intrinsic），那么很明显的，这个内蕴距离并未因为纸卷起来了而发生改变。 （平面与柱面第一基本形式相同）。
作者：二圈妹
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来源：知乎
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第一基本型I由雅克比矩阵计算得出，作为一种几何工具，可以用来计算角度、长度、面积，也被称作是度量张量。