线性代数基础学习

1. 矩阵 [对象]

1.1. 对称矩阵

1.1.1. 实对称矩阵

$A^T=A$

实对称阵是实矩阵中的一类非常重要的矩阵。它在力学、物理学、自动控制理论与工程技术中有着十分广泛的应用

1.1.1.1. Hermite 矩阵 复共轭对称

就是对一个矩阵进行了共轭转置后,还等于本身

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2+i\\ 2-i& 1\end{array}\right)$
像这个矩阵,转置,元素取共轭以后,等于自己

将一矩阵 $A$ 的行与列互换，并取各矩阵元素的共轭复数，得一新矩阵，称为厄米特共轭变换，以 $A^{\ast }$表之

若一矩阵 $A$，其厄米特共轭矩阵 $A^{\ast }$等于本身 A，即 $A^{\ast }=A$，则矩阵 $A$ 称为厄米特矩阵

共轭转置

实对称矩阵在复数域内称之为 Hermite 矩阵

$(A^{\ast }{)}^T=A^H$ 转置然后共轭

$A^H=A$

• 性质
  主对角上的矩阵元素均为实数,不然无法对称相等于自己

1.2. 逆矩阵

1.3. 正规矩阵

实对称矩阵, 实反对称矩阵, 正交矩阵, Hermite 矩阵, 反 Hermite 矩阵, 酉矩阵等都是正规
矩阵

各种说法

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通常将可以酉对角化的矩阵称为正规矩阵
同时,矩阵 $A$ 可以酉对角化 ⇐⇒ $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A$

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满足如下条件，则称其为正规矩阵
$A^H\cdot A=A\cdot A^H$

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A 乘以自己的共轭转置 $A^{\ast }$ 等于 $A^{\ast }$ 乘以自己，A 是方块阵

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任意正规矩阵 都可以经过 正交变换 变成 对角矩阵，反过来，可以经过一个 正交变换 成为对角矩阵的矩阵 都是正规矩阵

1.3.1. 正交矩阵

• 定义

正交矩阵（Orthogonal Matrix）是指其转置等于其逆的矩阵

$A\cdot A^T=E$ 或者 $A^T=A^{-1}$

方块矩阵，元素是实数，行与列都是正交的单位向量，他的转置矩阵是其 逆矩阵

$Q^{-1}=Q^T<=>Q^{-1}{Q}^T=I$

行列式 必为 +1 或 -1

正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。

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• 性质

  1. 逆矩阵也是正交矩阵
     $A$为正交矩阵 $A^{-1}=A^T$也是正交矩阵

  2. 行列式大小为 1
     若 A 为正交矩阵，则|A|=1(或-1)

  3. 乘积也是正交矩阵
     若 A 和 B 都是正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵

参考
https://www.matongxue.com/wiki/2363/

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• 作用
  有了正交矩阵,就不需要求矩阵的逆了,有转置矩阵即可了,

  参考
  正交矩阵的好处
  https://blog.youkuaiyun.com/tengweitw/article/details/41775545

1.3.1.1. 酉矩阵 （unitary matrix）

酉矩阵相对于正交矩阵
和 heimit 矩阵相对于实对称矩阵

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• 定义
  若 n 阶复矩阵 A 满足 $A^{H}A=A{A}^H=E$
  则称 A 为酉矩阵,记之为 $A\in U^{N\times N}$ 其中，$A^H$是 $A$ 的共轭转置

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• 性质
  $A^{-1}=A^H$
  $A^{-1}$也是酉矩阵
  $\det (A)=1$
  充分条件是它的 n 个列向量是两两正交的单位向量
  对于酉矩阵$U,V,U\oplus V,UV$ 也是酉矩阵

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• 参考
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/114184777

1.4. 共轭矩阵

• 性质

$(AB{)}^{\star }=B^{\star }{A}^{\star }$ 其中 A 为 m 行 n 列的矩阵 zhidao，B 为 n 行 p 列矩阵。
${\left(A^{\star }\right)}^{\star }=A$

若 $A$ 为方阵，则 $\det \left(A^{\ast }\right)=(\det A{)}^{\ast }$，且 $\mathrm{tr}\left(A^{\star }\right)=(\mathrm{tr}A{)}^{\star }$

A 是可逆矩阵
$(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }$

$A^{\ast }$的特征值是 $A$ 的特征值的复共轭。

$<A\cdot x,y>=<x,A\cdot y>$，其中 A 为 m 行 n 列的矩阵，复向量 x 为 n 维列向量，内复向量 y 为 m 维列向量，<·,·>为复数的内积。

对于任意矩阵$A$ , $r(A$