python线性回归实例 x轴坐标相同_最小二乘法求解线性回归原理代码及实例,一元,利用,案例...

本文介绍了线性回归的基本原理,包括最小二乘法的定义和数学推导,并通过Python代码展示了如何实现一元线性回归,利用最小二乘法求解回归系数,最后给出一个简单的最小二乘法应用实例。

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1、线性回归的原理

基础定义

线性回归是利用数理统计中的回归分析,来确定两种或两种以上属性间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。举个例子,一套房子的具有面积、卧室数量、卫生间数量等三个属性,该房子的售价与上述三个属性息息相关,可以根据实际情况构造出各个属性之间的线性关系表达式,表达式就被成为线性回归方程;

房屋价格 = 0.8500 * 面积 + 0.0500 * 卧室数量 + 0.0015 * 卫生间数量

在实际生活中,我们可以获取多套房屋的面积、卧室数量、卫生间数量、售价等数据的值,根据历史数据,可以构造出属性之间更接近实际情况的线性数量关系表达式,利用线性回归方法对未出售的房屋售价进行预测。

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根据上述的历史数据,可以构造出一个简单的线性关系表达式:

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这个方程称为

回归方程

, θ1和θ2称为回X1和X2归系数或权重。预测的Y值需要尽可能的接近于接近于实际情况,为了衡量h(x)有多“接近”y,定义损失函数(cost function):

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上述方程成为最小二乘损失函数,y(i)表示第i个训练实例对应的目标变量值,m为房屋的数量;常数1/2是为了方便后续计算;最小二乘法其实又叫最小平方法。

公式推导

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对于一元线性回归来说,根据已知X和Y值,我们可以在坐标轴上面描出所有的点,找出一条直线,使这条直线“最贴近”已知的数据点,设此直线方程为:

### Python 实现线性插值 为了在Python中实现线性插值,可以利用`numpy`库中的功能来创建数据点,并通过`scipy.interpolate.interp1d`函数来进行线性插值操作。下面是一个简单的例子说明如何完成这一过程[^4]。 #### 导入必要的模块 ```python import numpy as np from scipy import interpolate import matplotlib.pyplot as plt ``` #### 创建原始的数据集 定义一组已知的x和y坐标作为基础数据点用于后续插值计算。 ```python x = np.linspace(0, 10, num=11, endpoint=True) # 定义x上的离散点 y = np.cos(-x**2/9.0) # 对应于这些x值的y值 ``` #### 构建线性插值器对象 使用`interp1d()`方法并设置参数`kind='linear'`以指示执行线性插值。 ```python f_linear = interpolate.interp1d(x, y, kind='linear') ``` #### 插值得到新的样本点 基于构建好的插值模型,在更密集的网格上求解未知位置处的目标变量估计值。 ```python x_new = np.linspace(0, 10, num=101, endpoint=True) # 更细密的新x序列 y_new_linear = f_linear(x_new) # 应用线性插值获取新y值 ``` #### 可视化结果对比 绘制原有点与经过线性插值后的连续曲线以便直观理解两者之间的关系。 ```python plt.figure(figsize=(8,6)) plt.plot(x, y, 'o', label='Original Data Points') # 原始数据点标记为圆圈 plt.plot(x_new, y_new_linear, '-', label='Linear Interpolation') # 线性插值连线图 plt.legend() plt.show() ``` 上述代码展示了完整的流程:从准备输入数据开始直到最终得到平滑过渡的结果图像结束。这种方法非常适合处理一维空间内的简单映射问题[^5]。
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