本文探讨了线性代数中的一个重要问题，即如何通过有理标准型理论来证明一个n维线性空间V可以被分解为两个子空间的直和。此证明基于V中存在特定的非零向量α，并利用线性变换φ及其特征多项式的性质。
[问题2014S06] 试用有理标准型理论证明13级高等代数I期末考试最后一题：
设 \(V\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 为 \(V\) 上的线性变换, 且存在非零向量 \(\alpha\in V\) 使得 \[V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots).\]
设 \(f(x)\) 是 \(\varphi\) 的特征多项式, 并且 \(f(x)\) 在数域 \(K\) 上至少有两个互异的首一不可约因式, 证明: 存在非零向量 \(\beta,\gamma\in V\) 使得 \[ V=L(\beta,\varphi(\beta),\varphi^2(\beta),\cdots)\oplus L(\gamma,\varphi(\gamma),\varphi^2(\gamma),\cdots).\]
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