[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.4.8

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本文探讨了一种关于正数序列的特殊不等式，并给出了详细的数学证明过程。该不等式涉及几何平均数与调和平均数之间的关系。
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设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是正数, 且 $n\geq 1$. 证明: $$\bex \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\leq \frac{1}{\frac{1}{n}\sex{\frac{1}{x_n}+\cdots +\frac{1}{x_n}}}. \eex$$ (中山大学)

证明: 由 4.4.8 知 $$\bex \sqrt[n]{x_1\cdots x_n}=\frac{1}{\sqrt[n]{\frac{1}{x_1}\cdots \frac{1}{x_n}}} \geq\frac{1}{\frac{1}{n}\sex{\frac{1}{x_n}+\cdots +\frac{1}{x_n}}}. \eex$$

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