格子路径问题

在一个N*N矩阵的左上角坐着一个机器人，它只能向右运动或向下运动。那么， 机器人运动到右下角一共有多少种可能的路径？

进一步地，

如果对于其中的一些格子，机器人是不能踏上去的。设计一种算法来获得所有可能的路径。

不妨将这个问题再泛化一下，想象这个矩阵是m*n的，左上角的格子是(1, 1)， 右下角的坐标是(m, n)。那么其递归就应该是：

path(i, j) = path(i-1, j) + path(i, j-1)

其递归终止条件指的是i=1，j=1，所以我们可以写出这样一段

typedef long long ll;
ll path(ll m, ll n){
    if(m == 1 || n == 1) return 1;
    return path(m-1, n) + path(m, n-1);
}

如果用纯数学的方法来解这道题目，大概也就是个高中排列组合简单题吧。 机器人从(1, 1)走到(m, n)一定要向下走m-1次，向右走n-1次，不管这过程中是怎么走的。 因此，一共可能的路径数量就是从总的步数(m-1+n-1)里取出(m-1)步，作为向下走的步子， 剩余的(n-1)步作为向右走的步子。

ll fact(ll n){
    if(n == 0) return 1;
    else return n*fact(n-1);
}
ll path1(ll m, ll n){
    return fact(m-1+n-1)/(fact(m-1)*fact(n-1));
}

对于第二问，如果有一些格子，机器人是不能踏上去的(比如说放了地雷XD)， 那么，我们如何输出它所有可能的路径呢？

让我们先来考虑简单一点的问题，如果我们只要输出它其中一条可行的路径即可， 那么我们可以从终点(m, n)开始回溯，遇到可走的格子就入栈， 如果没有格子能到达当前格子，当前格子则出栈。最后到达(1, 1)时， 栈中正好保存了一条可行路径。代码如下：

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