2018年全国卷Ⅲ卷文科数学解析

前言

从一个数学老师的角度来解析2018高考，结合学生的实际学情，给出学习建议。

选择题

№.07下列函数中，其图像与函数\(y=lnx\)的图像关于直线\(x=1\)对称的是【\(\hspace{2em}\)】

A.\(y=ln(1-x)\hspace{2em}\) B. \(y=ln(2-x)\hspace{2em}\) C. \(y=ln(1+x)\hspace{2em}\) D.\(y=ln(2+x)\hspace{2em}\)

【解析】

【法1】：图像法，先做出函数\(y=lnx\)关于\(y\)轴对称的函数\(y=ln(-x)\)的图像，再将其向右平移两个单位即可，得到\(y=ln[-(x-2)]=ln(2-x)\)，故选B

【法2】：待求解的函数图像上任取一点\(P_0(x_0，y_0)\)，则其关于直线\(x=1\)的对称点坐标为\(P(2-x_0，y_0)\)，则其必然满足\(y=lnx\)，得到\(y_0=ln(2-x_0)\)，即\(y=ln(2-x)\)，故选B。

【法3】：由于点\((1，0)\)在给定函数图像上，也在对称轴上，则其必然也在所求函数图像上，代入验证，故选B。

№08【题文】 函数$y=f(x)=-x^4+x^2+2$的图像大致为【$\hspace{2em}$】 【解析】 图像缺失，偶函数，$f(0)=2$，$f(1)=2$，故选D. 【整理理由】：用穿根法做函数$y=f'(x)$的图像，$f'(x)=-4x^3+2x=-2x(2x^2-1)=-2x(\sqrt{2}x+1)(\sqrt{2}x+1)$ 先用手工做出函数$y=x(\sqrt{2}x+1)(\sqrt{2}x+1)$的图像，再做出函数$y=-2x(\sqrt{2}x+1)(\sqrt{2}x+1)$的图像，由此可以看出 函数$f(x)$在$(0，\cfrac{\sqrt{2}}{2})$上单调递增，在$(\cfrac{\sqrt{2}}{2}，+\infty)$上单调递减。

二、填空题

№.16已知函数\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+1\)，\(f(a)=4\)，则\(f(-a)=\)_________________

【解析】:令函数\(g(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\) ，则\(g(x)+g(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+ln(\sqrt{x^2+1}+x)=ln((\sqrt{x^2+1})^2-x^2)=ln1=0\)，故函数\(g(x)\)为奇函数。

同理，\(f(x)+f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+1+ln(\sqrt{x^2+1}+x)+1=2\)，即\(f(x)+f(-x)=2\)，

\(f(a)+f(-a)=2\)，\(f(a)=4\)，得到\(f(-a)=-2\)。

【备注】：\(f(x)+f(-x)=2\)，则函数\(f(x)\)关于点\((0，1)\)对称。

三、解答题

№.21已知函数\(f(x)=\cfrac{ax^2+x-1}{e^x}\).

(1)求曲线\(y=f(x)\)在点\((0，-1)\)处的切线方程。

【解析】 ：\(f'(x)=\cfrac{(2ax+1)e^x-(ax^2+x-1)e^x}{(e^x)^2}=\cfrac{-ax^2+2ax-x+2}{e^x}\)

由\(f'(0)=2\)，故由点斜式得到切线方程为\(y-(-1)=2(x-0)\)，即\(2x-y-2=0\)。

(2)证明：当\(a\ge 1\)时，\(f(x)+e\ge 0\)。

证明【证明的难点是放缩】：

当\(a\ge 1\)时，\(f(x)+e\ge (x^2+x-1+e^{x+1})\cdot e^{-x}\)，由于\(e^{-x}>0\)恒成立，故可以考虑甩掉她，

令\(g(x)=x^2+x-1+e^{x+1}\)，则\(g'(x)=2x+1+e^{x+1}\)，

【经验之谈：导数的解答题到此，我们可以这样寻找分界点，当题目中含有\(e^x\)时，可以考虑用\(x=0\)来尝试分界点，由于\(e^0=1\)；当题目中含有\(lnx\)时，可以考虑用\(x=1\)来尝试分界点，由于\(ln1=0\)】

我们很容易发现，\(x=-1\)是分界点，故可以这样写结果，

当\(x<-1\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，当\(x>-1\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，

故\(g(x)_{min}=g(-1)=0\)，故有\(g(x)\ge g(-1)=0\)

则\(g(x)\cdot e^{-x}\ge g(-1)\cdot e^{-x}=0\)，即\(f(x)+e\ge 0\)。

【解后反思】注意不等式放缩。此题的解法同于2018高考一卷文科第21题(2)的解答思路。

№.22在平面直角坐标系\(xoy\)中，\(\odot O\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=cos\theta}\\{y=sin\theta}\end{array}\right.(\theta为参数)\)，过点\((0，-\sqrt{2})\)且倾斜角为\(\alpha\)的直线\(l\)与\(\odot O\)交于\(A，B\)两点。

(1)求\(\alpha\)的取值范围；

分析：先设出直线带斜率\(k\)的方程，再联立圆方程组成方程组，由于线与圆相交于两个点，则\(\Delta>0\) 或者圆心到直线的距离\(d < r=1\)，都可以求解。不过在设直线方程时需要分类讨论；

【解析】当\(\alpha=\cfrac{\pi}{2}\)时，直线的斜率不存在，直线为\(x=0\)满足条件。

当\(\alpha=\cfrac{\pi}{2}\)时，设直线方程为\(y+\sqrt{2}=kx\)，即直线为\(kx-y-\sqrt{2}=0\)，\(\odot O\)的直角坐标方程为\(x^2+y^2=1\)，故圆心到直线的距离\(d=\cfrac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{k^2+1}}<1\)，

解得\(k^2>1\)，即\(k>1\)或者\(k<-1\)，借助\(y=tan\alpha（0\leq \alpha<\pi）\)的函数图像可知，

当\(k>1\)时，\(\cfrac{\pi}{4}<\alpha<\cfrac{\pi}{2}\)，当\(k<-1\)时，\(\cfrac{\pi}{2}<\alpha<\cfrac{3\pi}{4}\)，

综上所述，\(\alpha\)的取值范围为\((\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{3\pi}{4})\)；

(2)求\(AB\)中点\(P\)的轨迹的参数方程。

分析：看到题目中的\(AB\)中点\(P\)时，你应该想到直线的参数方程中的一个常识：

设点\(A，B\)对应的参数分别为\(t_A，t_B\)，线段\(AB\)的中点\(P\)对应的参数为\(t_P\)，则有\(\cfrac{t_A+t_B}{2}=t_P\)

【解析】由题目设直线\(l\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=t\cdot cos\alpha}\\{y=-\sqrt{2}+t\cdot sin\alpha}\end{array}\right.(t为参数，\cfrac{\pi}{4}<\alpha<\cfrac{3\pi}{4})\)，

设\(A、B、P\)对应的参数分别为\(t_A、t_B、t_P\)，则有\(t_P=\cfrac{t_A+t_B}{2}\)，

将直线\(l\)的参数方程，代入圆\(O\)的直角坐标方程，整理得到\(t^2-2\sqrt{2}sin\alpha+1=0\)，

则由韦达定理有\(t_A+t_B=2\sqrt{2}sin\alpha\)，由中点坐标公式得到\(t_P=\sqrt{2}sin\alpha\)，

又由于点\(P\)在直线\(l\)上，故满足直线的参数方程\(\left\{\begin{array}{l}{x=t_P\cdot cos\alpha}\\{y=-\sqrt{2}+t_P\cdot sin\alpha}\end{array}\right.\)，

代入得到点\(P\)的轨迹的参数方程是\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{\sqrt{2}}{2} sin2\alpha}\\{y=-\cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cfrac{\sqrt{2}}{2} cos2\alpha}\end{array}\right.(\alpha为参数，\cfrac{\pi}{4}<\alpha<\cfrac{3\pi}{4})\)，

【解后反思】1、注意设直线方程时的分类讨论。2、注意直线参数方程中的中点坐标公式\(\cfrac{t_A+t_B}{2}=t_P\)。

解析图片版

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