[SCOI2010]幸运数字 [容斥原理 dfs]

最新推荐文章于 2024-04-24 16:06:58 发布

weixin_34324081

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本文介绍了一种统计特定区间内“幸运号码”倍数的方法。幸运号码是指仅由数字6和8组成的正整数。文章详细说明了如何通过递归搜索生成所有可能的幸运号码，并利用容斥原理来避免重复计数，最终实现高效地统计指定范围内的幸运号码倍数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：“幸运号码”是十进制表示中只包含数字6和8的那些号码，求\([l,r]:r \le 10^10\)之间“幸运号码”的倍数个数

发现幸运号码貌似很少唉，去掉幸运号码的倍数只有943个
直接统计有重复，考虑容斥
\[{1个的倍数}-{两个的倍数}+...\]
怎么算？
多个数的倍数就是他们的\(lcm\)的倍数，直接搜索，当前\(lcm>r\)就剪掉，从大到小来加速
然后求\(lcm\)会爆long long，先整除判一下

这是不等式的放缩吗？

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=3e3+5;
typedef unsigned long long ll;
inline ll read(){
    char c=getchar();ll x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}

ll l, r;
int n, vis[N]; ll a[N];
void dfs(ll now) {
    if(now>r) return;
    if(now) a[++n] = now;
    dfs(now*10+6);
    dfs(now*10+8);
}
inline ll gcd(ll a, ll b) {return b==0 ? a : gcd(b, a%b);}
ll ans;
void dfs(int c, ll now, int p) {
    if(now>r) return;
    if(c) ans += (c&1) ? r/now - (l-1)/now : -(r/now - (l-1)/now);
    for(int i=p; i<=n; i++) {
        ll t = now/gcd(now, a[i]);
        if(t <= r/a[i]) dfs(c+1, t*a[i], i+1);
    }
}
int main() {
    freopen("in","r",stdin);
    l=read(); r=read();
    dfs(0);
    sort(a+1, a+1+n);
    for(int i=1; i<=n; i++) if(!vis[i]) 
        for(int j=i+1; j<=n; j++) if(!vis[j] && a[j]%a[i] == 0) vis[j]=1;
    for(int i=1; i<=n; i++) if(!vis[i]) a[++a[0]]=a[i];
    n=a[0]; 
    printf("n %d\n",n);
    reverse(a+1, a+1+n);
    dfs(0, 1, 1);
    printf("%lld",ans);
}