51NOD 1773：A国的贸易——题解

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原文链接：http://www.cnblogs.com/luyouqi233/p/9190262.html

本文介绍如何使用FWT（Fast Walsh-Hadamard Transform）与快速幂解决一个涉及异或运算的问题。该问题要求计算特定条件下货物数量的变化。通过定义状态dp[i][j]来表示第i天j编号城市货物的数量，并利用FWT将复杂的转移方程转换为卷积形式，进而加速计算过程。

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1773

参考1：FWT讲解 https://www.cnblogs.com/RabbitHu/p/9182047.html

参考2：题解 https://www.cnblogs.com/ivorysi/p/9178577.html

（令$\oplus$表示异或）

设$dp[i][j]$表示第$i$天$j$编号城市货物数。

因为只有$i \oplus j$的答案有一个1才能转移，所以$i\oplus j=2^k$

根据异或的性质变成$i\oplus 2^k=j$。

想办法利用它把转移方程写成卷积的形式。

设$b[2^i]=1$，其余都是$0$，于是就有：

$dp[i][j]=dp[i-1][j]+\sum_{a\oplus k=j}dp[i-1][a]*b[k]$

你会发现把$dp$递归展开之后实际上就是一个卷积套卷积……套$t$次的过程，$FWT$运算加快速幂即可。

注意读入输出优化。

#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1<<20;
const int p=1e9+7;
const int inv=500000004;
inline int read(){
    int X=0,w=0;char ch=0;
    while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
void write(int x){
    if(x>9)write(x/10);
    putchar('0'+x%10);
}
inline int add(int x,int y){
    x+=y;if(x>=p)x-=p;return x;
}
inline int sub(int x,int y){
    x-=y;if(x<0)x+=p;return x;
}
void FWT(int a[],int n,int on){
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
    for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
        for(int k=0;k<i;k++){
        int u=a[j+k],t=a[j+k+i];
        a[j+k]=add(u,t);
        a[j+k+i]=sub(u,t);
        if(on==-1){
            a[j+k]=(ll)a[j+k]*inv%p;
            a[j+k+i]=(ll)a[j+k+i]*inv%p;
        }
        }
    }
    }
}
int qpow(int k,int n){
    int res=1;
    while(n){
    if(n&1)res=(ll)res*k%p;
    k=(ll)k*k%p;n>>=1;
    }
    return res;
}
int n,t,m,a[N],b[N];
int main(){
    n=read(),t=read(),m=1<<n;
    for(int i=0;i<m;i++)a[i]=read();
    for(int i=0;i<m;i++){
    if(i-(i&-i)==0)b[i]=1;
    }
    FWT(a,m,1);FWT(b,m,1);
    for(int i=0;i<m;i++)a[i]=(ll)a[i]*qpow(b[i],t)%p;
    FWT(a,m,-1);
    for(int i=0;i<m;i++){
    write(a[i]);putchar(' ');
    }
    puts("");
    return 0;
}

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