51NOD 1709：复杂度分析——题解

二进制贡献与LCA算法

最新推荐文章于 2020-02-26 22:55:31 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/luyouqi233/p/9210204.html

本文介绍了一种利用二进制贡献和LCA算法解决特定问题的方法。通过按位处理节点贡献，实现了对树状结构中节点对贡献的有效计算。文章详细解释了算法原理，并提供了完整的代码实现。

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1709

（我什么时候看到二进制贡献才能条件反射想到按位处理贡献呢……）

参考：https://www.cnblogs.com/hzoier/p/8593825.html

最朴素当然是LCA暴算。

但是更聪明的做法是考虑每个节点$u$，固定$lca$求贡献，能够$LCA(u,v)=lca$的点$v$的个数显然为$size[lca]-size[u$所在的以$lca$为根的子树$]$。

于是答案也就出来了，就是$bit[u->lca]*(size[lca]-size[u$所在的以$lca$为根的子树$])$。

当然复杂度不理想，因为有很多节点的贡献我们应该是可以一起算的。于是我们按照二进制位每位计算贡献。

如果你画个图你就会发现，设$anc[i][j]$为$i$的第$2^j-1$个祖先（注意，不是第$2^j$个祖先，原因请画图理解），则对于$u$，其第$j$位所带来的贡献就是$size[anc[u][j+1]]-size[anc[u][j]]$。

当然还没完，在这之上还有能够为其做出第j位贡献的点，所以我们还要加上$w[fa[anc[u][j+1]]]$才行。

（强烈建议画图体验，仅凭文字很难说明。）

（其实也就是$2^{j+1}$及以上有贡献的点，我们可以通过u一次跳跃过去，然后就是递归了）

#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
const int INF=1e9;
const int B=17;
inline int read(){
    int X=0,w=0;char ch=0;
    while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
struct node{
    int to,nxt;
}e[N*2];
int n,cnt,head[N],anc[N][B+4],fa[N];
int size[N],sum[N],idx[N],tot;
ll w[N];
inline void add(int u,int v){
    e[++cnt].to=v;e[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
}
void dfs(int u){
    idx[++tot]=u;size[u]=1;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa[u])continue;
        fa[v]=u;dfs(v);size[u]+=size[v];
    }
}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u=read(),v=read();
        add(u,v);add(v,u);
    }
    dfs(1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        anc[i][0]=i,anc[i][1]=fa[i];
    for(int j=2;j<=B+1;j++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            anc[i][j]=fa[anc[anc[i][j-1]][j-1]];
        }
    }
    ll ans=0;
    for(int j=0;j<=B;j++){
        memset(w,0,sizeof(w));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int u=idx[i],v1=anc[u][j+1],v2=anc[u][j];
            if(!v1)v1=1;if(!v2)v2=1;
            w[u]=size[v1]-size[v2];
            w[u]+=w[fa[anc[u][j+1]]];
            ans+=w[u];
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

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