$n$阶常微分方程通解中常数独立的意义

丁同仁,李承治编《常微分方程教程》第二版的定义1.3给出了 $ n$ 阶常微分方 程

$ {\displaystyle F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0 \ \ \ \ \ (1)}$

的通解的定义:

Definition 1 (常微分方程的通解) 如果 $ y=\phi(x,C_1,C_2,\cdots,C_n)$ 是方程 1的解,且常 数 $ C_1,C_2,\cdots,C_n$ 是独立的,那么 称$ y=\phi(x,C_1,C_2,\cdots,C_n)$ 是方程 1 的通 解.所谓$ C_1,C_2,\cdots,C_n$ 独立,其含义是 Jacobi 行列式

$ {\displaystyle \begin{vmatrix} \frac{\partial \phi}{\partial C_1}&\frac{\partial \phi}{\partial C_2}&\cdots&\frac{\partial\phi}{\partial C_n}\\ \frac{\partial \phi'}{\partial C_1}&\frac{\partial \phi'}{\partial C_2}&\cdots&\frac{\partial \phi'}{\partial C_n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ \frac{\partial \phi^{(n-1)}}{\partial C_1}&\frac{\partial \phi^{(n-1)}}{\partial C_2}&\cdots&\frac{\partial \phi^{(n-1)}}{\partial C_n}\\ \end{vmatrix}\neq 0. \ \ \ \ \ (2)}$

其中

$ {\displaystyle \begin{cases} \phi=\phi(x,C_1,\cdots,C_n),\\ \phi^{(1)}=\phi^{(1)}(x,C_1,\cdots,C_n),\\ \phi^{(2)}=\phi^{(2)}(x,C_1,\cdots,C_n),\\ \vdots\\ \phi^{(n-1)}=\phi^{(n-1)}(x,C_1,\cdots,C_n). \end{cases} \ \ \ \ \ (3)}$

有些人可能会看不懂,书上 为什么用这么晦涩的方式来定义$ C_1,C_2,\cdots,C_n$ 的独立性?这到底是什么 意思?下面我利用反函数定理来 解释.

对于微分方程 (1),我们给出初值条件:

$ {\displaystyle y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y_1,\cdots,y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}, }$

把这些初值条件代入 (3) 时,得到

$ {\displaystyle \begin{cases} y_0=\phi(x_0,C_1,\cdots,C_n),\\ y_1=\phi^{(1)}(x_0,C_1,\cdots,C_n),\\ \vdots\\ y_{n-1}=\phi^{(n-1)}(x_0,C_1,\cdots,C_n) \end{cases} \ \ \ \ \ (4)}$

由于行列式 (2) 不为0,因此根据多元反函数定理,可得方程组 (4) 中的$ C_1,\cdots,C_n$ 能被解出,也即,$ C_1,\cdots,C_n$ 能分别被表达成 $ y_0,\cdots,y_{n-1},x_0$ 的关系式.这就是常数 $ C_1,\cdots,C_n$ 独立的意义.

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