[Hdu3507]Print Article（斜率优化）

最新推荐文章于 2020-01-02 23:57:47 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/void-f/p/8404311.html

本文介绍了一种使用斜率优化的动态规划算法解决特定区间选取问题的方法。该问题要求从给定序列中选择连续区间，使得总代价最小，代价由区间元素之差的平方和一个常数构成。通过斜率优化将复杂度降至线性，并提供了完整的实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

题意：给N个数，按顺序全部取走，每次取一段连续的区间，代价为\((S[i]-S[j])^2+M\)

其中M为一个给定的常数,\(S[i]\)为前缀和

\(N\leq 500000\)

Solution

常规的方程：\(dp[i]=min\{dp[j]+(S[i]-S[j])^2+M\}, j<i\)

\(O(n^2)\)是过不了50万的，用斜率优化

设有\(k<j<i\) 使得决策j更优，那么有

\(dp[j]+(S[i]-S[j])^2+M<dp[k]+(S[i]-S[k])^2+M\)

整理得 \(\frac{(dp[j]+S[j]^2)-(dp[k]+S[k]^2)}{(S[j]-S[k])}<2*S[i]\)

令\(f[i]=dp[i]+S[i]^2\),所以有\(\frac{f[j]-f[k]}{s[j]-s[k]}<2*S[i]\)

此时决策j更优，反之决策k优

易证\(f[i]\)也单调递增，所以可用单调队列维护

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 500010
#define squ(x) ((x)*(x))
using namespace std;

int n,M,l,r,q[N],s[N],dp[N];

inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

inline int f(int k,int j){return dp[j]+squ(s[j])-(dp[k]+squ(s[k]));}
inline int g(int k,int j){return s[j]-s[k];}

void DP(){
    l=1,r=0;q[++r]=0;dp[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        while(l<r&&f(q[l],q[l+1])<=2*s[i]*g(q[l],q[l+1])) l++;
        int j=q[l];
        dp[i]=dp[j]+squ(s[i]-s[j])+M;
        while(l<r&&f(q[r],i)*g(q[r-1],q[r])<f(q[r-1],q[r])*g(q[r],i)) r--;//保证斜率单调
        q[++r]=i;
    }
}

int main(){
    while(~scanf("%d%d",&n,&M)){
        for(int i=1;i<=n;++i) s[i]=s[i-1]+read();
        DP();
        printf("%d\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/void-f/p/8404311.html