[旧文章补档]HDU 3507 Print Article 斜率优化dp 入门+个人理解

最新推荐文章于 2020-03-06 21:41:13 发布

jrljn

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CC 4.0 BY-SA版权

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/olijiannan/article/details/54673044

本文深入探讨了斜率优化动态规划（DP）的原理及应用，通过实例详细解析了如何利用斜率优化来提高DP算法的效率。文章首先介绍了基本的表达式和变形，接着通过数学转换将问题转化为寻找最优直线的过程，最后给出了具体实现代码，包括关键的单调队列维护和决策过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

先贴几个好的讲解吧。。orz

http://www.cnblogs.com/loveidea/p/3921210.html pt orz
http://www.cnblogs.com/MashiroSky/p/6009685.html
http://blog.youkuaiyun.com/balloons2012/article/details/7912296

最朴素的表达式: f[i] = min( f[j] + (s[i] - s[j])^2 ) + M
变形: f[i] + 2 * s[i] * s[j] = f[j] + s[j]^2 + M
记 y = f[j] + s[j]^2 , x = 2 * s[j] , k = s[i] , b = f[i] - M
原式变为 kx + b =y (是不是很熟悉？)
即 x，y为均为只与j有关的变量对于当前进行决策的i，斜率k (s[i]) 为定值
斜率优化dp1
f[i]即为过点j(< i) 直线的纵截距
为了使f[i]最小我们会选择纵截距最小的点来更新答案
那么决策过程就可以看做是将一条k=s[i]的斜线从下向上平移遇到的一个点j即为目前状态能达到最小值的点
斜率优化dp2
于是我们用一个单调队列来维护一个下凸壳只保留有用（可能更新答案）的点
斜率优化dp3
当新加入的点破坏队列内斜率的单调性时不断弹出队尾元素

注意到s[i]是单调递增的 所以决策时只要不断弹出队首元素直到斜率>s[i]
然后拿队首元素(最优的j)来更新答案即可。

/*  bakapiano 17.1.22
    HDU 3507
    斜率优化dp      */
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define MAXN 500005
#define ls ch[o][0]
#define rs ch[o][1]
#define LL long long
using namespace std;
LL n,m,l=1,r=0;
LL c[MAXN],s[MAXN],f[MAXN],q[MAXN];
LL F(LL x){return x*x;}
double y(int i){return f[i]+F(s[i]);}
double x(int i){return 2.0*s[i];}
int main()
{
    while(scanf("%lld%lld",&n,&m)!=EOF)
    {
        r=0,l=1,q[++r]=0;
        memset(f,0,sizeof(f));
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&c[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+c[i];
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            while(l<r&&(y(q[l+1])-y(q[l]))<=s[i]*(x(q[l+1])-x(q[l]))) l++;//注意顺序 否则不等式的符号将改变
            int j=q[l];
            f[i]=f[j]+F(s[i]-s[j])+m;
            while(l<r&&(y(i)-y(q[r]))*(x(q[r])-x(q[r-1]))<=(x(i)-x(q[r]))*(y(q[r])-y(q[r-1]))) r--;
            q[++r]=i;
        }
        printf("%lld\n",f[n]);
    }
    return 0;
}