[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.3

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本文通过构造不等式的方法证明了一个交错级数发散到正无穷。通过对级数中特定项的组合与比较，利用放缩技巧展示了该级数的部分和随项数增加无限增长的趋势。

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证明级数 $$\bex 1 +\frac{1}{\sqrt{3}} -\frac{1}{\sqrt{2}} +\frac{1}{\sqrt{5}} +\frac{1}{\sqrt{7}} -\frac{1}{\sqrt{4}} +\frac{1}{\sqrt{9}} +\frac{1}{\sqrt{11}} -\frac{1}{\sqrt{6}} +\cdots \eex$$ 发散到 $+\infty$. (吉林大学)

 

证明: 由 $$\beex \bea \frac{1}{\sqrt{4k-3}} +\frac{1}{\sqrt{4k-1}} -\frac{1}{\sqrt{2k}} &=\frac{\sqrt{4k-1}+\sqrt{4k-3}}{\sqrt{(4k-3)(4k-1)}} -\frac{1}{\sqrt{2k}}\\ &=\frac{\sqrt{4k-1}+\sqrt{4k-3}}{\sqrt{16k^2-16k+3}}-\frac{1}{\sqrt{2k}}\\ &\geq \frac{\sqrt{4k-1}+\sqrt{4k-3}}{4k} -\frac{2\sqrt{2k}}{4k}\\ &\geq \frac{\sqrt{4k-3}-\sqrt{2k}}{2k}\\ & =\frac{1}{2k}\cdot \frac{1}{\sqrt{\xi_k}}[(4k-3)-2k]\quad\sex{2k<\xi_k<4k-3}\\ &\geq \frac{1}{2k\sqrt{4k-3}}(2k-3)=\sex{1-\frac{3}{2k}}\frac{1}{\sqrt{4k-3}}\\ & \geq \frac{1}{4\sqrt{4k-3}}\quad\sex{k\geq 2} \eea \eeex$$ 知原级数的前 $3N$ 项和 $S_{3N}$ 发散到 $+\infty$. 又由 $$\bex S_{3N-1}-\frac{1}{\sqrt{2N}}=S_{3N},\quad S_{3N-2}=S_{3(N-1)+1}=S_{3(N-1)}+\frac{1}{\sqrt{4N-3}} \eex$$ 知 $S_{3N-1}$, $S_{3N-2}$ 均发散到 $+\infty$, 而由结论成立.

裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》 P1~31
qq_45481282的博客
07-05 2459
裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》 第1天:1~31 第1章 一元函数极限 函数 关于反函数 只要是有f゜f⁻¹()，结果都为括号里的值 复合函数的反函数公式 奇函数、偶函数 整体的思想和反函数中第1条的思想。 例1.1.4任意对称区间上的任意函数总可以表示成一个偶函数与一个积函数的和，而且此表示方法唯一Important. 周期函数 不是所有周期函数一定存在最小正周期。狄利克雷函数。 连续的周期函数必有最小正周期。 例1.1.5周期函数内部
裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》P31~60
qq_45481282的博客
07-07 2327
裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》 第2天31~60 第1章 一元函数极限 3.求极限值的若干方法 利用等价代换和初等变形求极限。 等价代换。 先求出可以求出来的值。 根号内最好转变为一个常数和一个分式的和。 等价无穷小代换。 注意只有在x出现的时候才可以用，如果是常数不能用等价无穷小代换，比如说1.3.1的第4问。efx-eb不能等价代换成efx-1-eb+1因为必是常数，所以不能够这样等价无穷小代换。应该以整体的思想，然后进行等价无穷小代换。 等价代换原理，源于分
数学分析中的典型问题与方法(裴礼文）
06-24
数学分析中的典型问题与方法(裴礼文） pdf文档 高等教育出版社
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.4.3
weixin_34242509的博客
05-10 284
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微, 并且 $f(1)-f(0)=1$. 证明 $$\bex \int_0^1 f'^2(x)\rd x\geq 1. \eex$$ (国外赛题) 证明: $$\bex 1=[f(1)-f(0)]^2=\sev{\int_0^1 f'(x)\rd x}^2\leq \int_0^1 1^2\rd x\cdot \int_0^1 f'^2(x)\rd ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.3
weixin_33727510的博客
05-11 202
求 $\dps{\int_0^\infty f(x^p+x^{-p}) \frac{\ln x}{1+x^2}\rd x}$ (函数 $f(x)$ 连续)  解答: $$\beex \bea \mbox{原积分} &amp;=\int_0^1+\int_1^\infty f(x^p+x^{-p}) \frac{\ln x}{1+x^2}\rd x\\ &amp;=\int_\infty^1f(t...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.19
weixin_33704591的博客
05-16 264
设 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, $0&lt;p_n\nearrow+\infty$, 试证: $$\bex \vlm{n} \frac{p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_na_n}{p_n}=0. \eex$$   证明: 设 $\dps{S_n=\sum_{k=1}^na_k}$, 则 $\dps{\vlm{n}S_n=S}$, 且 $$\beex \bea \...
裴礼文数学分析中的典型问题与方法第5章级数练习
weixin_34358365的博客
06-12 1239
参考解答见: http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html 5.1.1 设 $k,i,j$ 都是自然数, 且 $k=i+j$, 试求级数 $\dps{\vsm{n}\frac{1}{(kn-i)(kn+j)}}$ 的和. 5.1.2 设 $\sed{a_n}$ 为等差数列, $a_{...
数学分析中的典型问题与方法 有提示版 高清版裴礼文.pdf
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裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》第三版课后习题留白
04-24
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数学分析中的典型问题与方法_裴礼文教授编数学分析中的典型问题与方法练习1.4参考解答...
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01-29 1262
裴礼文教授编《数学分析中的典型问题与方法》练习1.4参考解答本节介绍求数列极限的Solz公式，这是函数极限洛必达法则的离散形式，对数列求极限非常有用。Stolz公式本身也被很多大学用作考研试题。基本形式(数列形式)：Stolz公式：设严格单调增加，, 如果则。Stolz公式：设严格单调减少，且如果则。一般形式(差分形式)：Stolz公式：设常数，且,,, 在的任何有限子区间有界成立则。S...
$(1+\frac{1}{n})^n<(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$
weixin_34126557的博客
11-11 288
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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.11
weixin_34144450的博客
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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.7
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05-25 487
$f(x)\neq 0$, 在 $[a,b]$ 上可微, $f(a)=f(b)=0$, 证明至少存在点 $c\in [a,b]$, 使 $$\bex |f'(c)|&gt;\frac{4}{(b-a)^2}\int_a^b |f(x)|\rd x. \eex$$   证明: $$\beex \bea \int_a^b |f(x)|\rd x&amp;=\int_a^\frac{a+b}{2}\...
纯数学教程 Page 325 例LXVIII (14) $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots=\frac{3}{4}(\frac...
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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.9
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设 $f(x)$ 为连续实值函数, 对所有 $x$, 有 $f(x)\geq 0$, 且 $\dps{\int_0^\infty f(x)\rd x&lt;+\infty}$, 求证: $$\bex \frac{1}{n}\int_0^n xf(x)\rd x\to 0\quad\sex{n\to\infty}. \eex$$ (中国科学院)   证明: 由 Cauchy 收敛原理知 $$\b...
典型方法_裴礼文老师编数学分析中的典型问题与方法练习参考答案的说明
weixin_39860064的博客
01-12 4147
裴礼文老师编《数学分析中的典型问题与方法》练习参考答案该书共计7章36节1036页，各章由知识点总结、例题和练习组成，知识点基本按照传统《数学分析》教材先后顺序跟进。例题和练习出自《数学分析》经典习题和近年《数学分析》考研试题，极具代表性。由于该书例题及练习均来自于各个大学考研试题，且具有一定难度，该书被网友称为数学系终极晚餐》(http://tc.wangchao.net.cn/bt/...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.3
weixin_33885253的博客
05-25 286
求证: $\dps{f(x)=\int_0^x (t-t^2)\sin^{2n}t\rd t}$ ($n$ 为正整数) 在 $x\geq 0$ 上的最大值不超过 $\dps{\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}}$. (西北大学)   证明: 由 $$\bex f'(x)=(x-x^2)\sin^{2n}x\sedd{\ba{ll} &gt;0,&amp;0&lt;x&lt;1\\ =...
C#类库封装：简化SDK调用实现多功能集成，构建地磅无人值守系统
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07-24
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基于STM32F1的BLDC无刷直流电机与PMSM永磁同步电机源码解析：传感器与无传感器驱动详解
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