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DP算法优化与实践

最新推荐文章于 2025-09-12 17:31:31 发布

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#数据结构与算法

本文深入探讨了动态规划(DP)算法的一种优化技巧，通过精简状态转移方程，实现复杂度的有效降低。以具体问题为例，展示了如何利用有限决策特性简化DP过程，避免不必要的状态转移，提高算法效率。代码示例清晰地说明了这一技巧的应用，为读者提供了一个实际场景下的DP优化案例。

显然的DP是，dp[i][j][val]

val是1e6的

简化

发现，其实决策很有限，最优解的i-1的val选择有限

题解

这里的一个trick是，f[i][j][0]转移不考虑a[i]和a[i-1]的大小关系，如果不计算到j的话，只能更差，而且之后会有一种方案记录到

这样，保留了一种可能的a[i]>a[i-1]的0状态，所以后面1的转移就存在这种情况。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=5005;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int f[N][N][3];
int a[N];
int n;
int main(){
    rd(n);
    for(reg i=1;i<=n;++i) rd(a[i]);
    memset(f,inf,sizeof f);
    f[1][0][0]=0,f[1][1][1]=0;
    for(reg i=2;i<=n;++i){
        for(reg j=0;j<=(i+1)/2;++j){
            f[i][j][0]=min(f[i-1][j][0],f[i-1][j][2]);
            f[i][j][1]=min(f[i-1][j-1][0]+max(0,a[i-1]-a[i]+1),f[i-1][j-1][2]+max(0,min(a[i-2]-1,a[i-1])-a[i]+1));
            f[i][j][2]=f[i-1][j][1]+max(0,a[i]-a[i-1]+1);
        }
    }
    for(reg k=1;k<=(n+1)/2;++k){
        printf("%d ",min(f[n][k][0],min(f[n][k][1],f[n][k][2])));
    }
    return 0;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2019/2/22 21:32:02
*/