矩阵转换的几何意义

最新推荐文章于 2025-02-23 10:18:39 发布

weixin_34228387

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float4x4 WorldITXf : WorldInverseTranspose < string UIWidget="None"; >;

//把法线从局部空间变换到世界空间
float4x4 ViewIXf : ViewInverse < string UIWidget="None"; >;

//把Vector从观察空间变换到世界空间

float4x4 WvpXf : WorldViewProjection < string UIWidget="None"; >;

//从物体空间转为裁剪空间

float4x4 WorldXf : World < string UIWidget="None"; >;

//从物体坐标转为世界坐标

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人工智能：矩阵的迹几何意义以及实战！！

AI Agent 首席体验官

02-17

1102

trAi1∑naii在二维情况下，迹反映了变换对面积的局部变化率。Aa11a21a12a22其迹trAa11a22表示了单位面积在变换前后的瞬时变化率。

坐标系转换矩阵和几何转换矩阵的关系

longteng_guo的博客

07-08

2164

坐标系转换矩阵：将一个点云从一个坐标系转换至另一个坐标系中表示。几何转换矩阵：将点云在某坐标系下进行旋转平移变化。下面确定以下坐标系转换矩阵和几何转换矩阵的关系。在世界空间中存在一个坐标系，点集P（共有n个点），点集（共有n个点），将坐标系和点集一起平移旋转后，得到了坐标系'和新点集。为了方便理解器位置关系，需要建立世界坐标系，这两个坐标系和两个点集在世界坐标系中的位置如图所示。在坐标系中观察点集与，点集内点的坐标分别为，在坐标系'中观察点集，点集内点的坐标分别为, 其中(i=1:n).

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矩阵的几何意义

爱不释手lc

09-08

4990

转载自：http://blog.sina.com.cn/main_v5/ria/private.html?uid=1837328284 实数组的几何意义：（a，b）和（a，b，c）分别代表平面和三维空间上的一个点矩阵的几何意义：在线性空间中，如果确定了一个基，线性映射就可以用确定的矩阵表示。即线性空间上的线性映射。

矩阵转置的意义

nbspzs的专栏

03-27

3061

例如，如果 $ A $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，那么 $ A^T $ 就是一个 $ n \times m $ 的矩阵，其中 $ A^T $ 的第 $ i $ 行第 $ j $ 列的元素等于 $ A $ 的第 $ j $ 行第 $ i $ 列的元素。例如，一个矩阵 $ A $ 可以表示将向量空间中的向量进行线性变换，而 $ A^T $ 则表示了相同变换的对偶变换，即在转置矩阵中，行和列的作用互换，对应了原线性变换的对偶性质。

矩阵的转置的意义

asfg5369的博客

02-11

2万+

作者：邓曲英链接：https://www.zhihu.com/question/38372986/answer/79650085 来源：知乎著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。从计算机图形学的角度说一下~ 矩阵其实是用来描述或者说是记录物体所有的点在一个线性空间里的坐标的，当然也可以用于描述对别的对象进行旋转 / 缩放 / 平移的程度在做...

矩阵列变换的意义

studyvcmfc的专栏

03-22

1619

https://www.zhihu.com/question/47708154

3D数学中，关于矩阵变换意义

jintingbo的专栏

12-28

2475

矩阵是如何变换向量的？原创作者：金庭波通俗的理解，想把一个物体变大变小，将此物体乘一个系数就行了；这个物体在数学中是用向量表示的；那就变成了向量乘以一个系数就行了。但这个物体它是有维度的，所以它的各个维度的系数都不一样，所以最好的办法是用一个矩阵来表示它各个方面的系数。这样，物体的变化就变成了向量与矩阵乘的结果了。一个向量v=[x y z],它可以写成它的基向量的线性组和形式：v=xp+yq+zr；这样...

协方差矩阵的几何解释1

08-03

协方差矩阵的特征分解是理解其几何意义的关键。矩阵的特征向量表示数据最大扩散的方向，而特征值则对应于这些方向上的方差幅度。最大特征向量指向数据的主成分，也就是数据变异最大的方向。第二大特征向量与最大特征...

【数学】对向量的求导和Jacobian矩阵的几何意义与Hessian矩阵

haolexiao的专栏

03-08

2万+

算是上一篇【数学】均匀分布生成其他分布的方法的一个数学基础补遗吧。

《线性代数的几何意义》之四_(_向量组及向量空间的几何意义_).pdf

01-14

### 《线性代数的几何意义》之四：向量组及向量空间的几何意义 #### 一、引言《线性代数的几何意义》这本书着重于通过直观的方法来阐述线性代数的基本概念。第四章讨论的是向量组以及向量空间的几何意义。这一...

轉置矩陣的意義

zckevinzc的专栏

08-26

2351

如果門徒向蘇格拉底提問：「轉置矩陣是甚麼？」蘇格拉底一如既往地回答：「不知道。」門徒於是轉而查閱課本的說法：給定一階矩陣，轉置矩陣是階矩陣，記作，其中。轉置矩陣不過就是將的行列對調位置而已，還有必要繼續討論下去嗎？「轉置矩陣與原矩陣有何關係？」誠懇向學的門徒不肯罷休又窮追猛問：「轉置矩陣有什麼代數和幾何意義？」越是基本的問題往往越難給出令多數

计算机图形学之矩阵变换的深度理解

papalqi

07-27

2万+

对于图形学来说，矩阵计算不可避免，既直观又方便。而如果线性代数学的不透彻的话，那么基本上是做不到应用的，这里推荐看一下3Blue1Brown的线性代数的视频，可以对矩阵计算有深刻的认识。之后就是应用阶段，我们这个阶段就是使用我们的矩阵来完成空间中点或向量的各种变换。重点是理解矩阵的含义：矩阵其实是一种坐标系的转换理解矩阵的几何功能: 矩阵是一种线性变换（线段变换后仍是线段，并且原点不...

矩阵的转置:实战最通俗易懂的讲解！！！

AI Agent 首席体验官

02-23

1453

对于一个m×nm \times nm×n的矩阵AAA，其转置矩阵记为ATA^TAT，是一个n×mn \times mn×m的矩阵。如果我们将矩阵AAA的元素表示为aija_{ij}aij，那么转置矩阵ATA^TAT的元素aijTa_{ij}^TaijTaijTajiaijTaji。

第一课行列式性质与几何意义

asapigi的博客

03-09

1416

几何意义这个之前没听过，a，b是行向量，那么这个矩阵的行列式值为面积（符号看图）同理，三维的话就是那个平行六面体的体积补充一个东西，就是转置的方法有两种，一是行列互换，二是关于主对角线作对称性质就以三维为例（便于记忆）再将之前先对上面的平行六面体进行处理，我们只看那个由三个向量组成的三角锥（面积为整个的1/6）这个矩阵的行列式转置后值不变（从行列式定义出发，固定行的顺序与固定列的顺序进行取值，结果一样）几何角度说明那三个向量可以横着取也可以竖着取一行或一列的k可以提出来，三角锥

MATLAB矩阵求值

追梦少年ML的博客

09-08

1万+

这篇博客我将介绍在MATLAB中矩阵的一些求值操作。有矩阵的行列式值，矩阵的秩，矩阵的迹，矩阵的范数，矩阵的条件数。 1.方阵的行列式。 det(A)：求方阵A所对应的行列式的值。 2.矩阵的秩矩阵线性无关的行数或列数成为矩阵的秩。 rank(A)：求矩阵A的秩。 3.矩阵的迹矩阵的迹等于矩阵的对角线之和，也等于矩阵的特征值之和. trace(A)：求矩阵的迹. 4.向量和矩阵的范数. 矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。 5.矩阵的条件数。矩阵A的条件数等于A的范数与A

线性代数的几何意义

l1987021的专栏

03-06

2218

线性代数与几何的关系：一方面几何是线性代数的描述，而另一方面线性代数是几何的推导 f(x) = T*x ：这是一个典型的1D的线性函数，T是该函数的算子。它的几何意义是：以X为轴的1维点x的集合到以Y为轴的1维点y的集合的映射。而T就是其映射条件，T也是一个1D的矩阵。这样看来其实我们写程序的每一个函数都相当于一次映射，只不过返回的结果和输入的参数的维度不一定一样。从1D推向3D：...

旋转矩阵及左右乘的意义，看这一篇就够了

最新发布

06-26

矩阵在几何上的意义可以从其如何作用于空间中的点和向量来理解。矩阵可以被视为一种线性变换，它能够对向量进行旋转、缩放、剪切或投影等操作。通过这些变换，矩阵成为描述空间结构变化的重要工具。 ### 1. 线性变换的表示矩阵是线性变换的数学表达形式。一个 $ n \times n $ 的矩阵可以将一个向量从 $ \mathbb{R}^n $ 映射到另一个 $ \mathbb{R}^n $ 向量，同时保持加法和数乘运算的线性性质。例如，二维空间中的旋转可以通过以下矩阵实现： $$ R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} $$ 该矩阵可以将平面上的任何向量绕原点旋转角度 $ \theta $。 --- ### 2. 缩放与拉伸一个对角矩阵可以用于对向量进行缩放。例如，在二维空间中，矩阵： $$ S = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix} $$ 其中 $ a $ 和 $ b $ 分别控制 x 轴和 y 轴方向的缩放比例。若 $ a = b $，则为均匀缩放；否则为非均匀缩放。 --- ### 3. 投影与反射矩阵也可以用于将向量投影到某个子空间。例如，将二维空间中的向量投影到 x 轴的变换可由以下矩阵表示： $$ P_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$ 类似地，镜像反射变换可以通过特定矩阵实现，如关于 y 轴对称的反射矩阵为： $$ M_y = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$ --- ### 4. 坐标变换矩阵还常用于坐标系之间的转换。例如，在计算机图形学中，模型变换（平移、旋转、缩放）通常通过矩阵乘法组合实现。齐次坐标引入了额外维度，使得平移操作也能用矩阵表示： ```python import numpy as np # 定义一个齐次变换矩阵：先旋转 45 度，再平移 (2, 3) theta = np.radians(45) rotation = np.array([ [np.cos(theta), -np.sin(theta), 0], [np.sin(theta), np.cos(theta), 0], [0, 0, 1] ]) translation = np.array([ [1, 0, 2], [0, 1, 3], [0, 0, 1] ]) # 组合变换 transform = translation @ rotation point = np.array([1, 0, 1]) # 齐次坐标下的点 (x=1, y=0) # 应用变换 transformed_point = transform @ point print("变换后的点:", transformed_point[:2]) ``` --- ### 5. 几何直观的理解方式可以通过观察矩阵的列向量来理解其几何意义。矩阵的每一列表示标准基向量在变换后的新位置。例如，二维矩阵： $$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$ 其第一列 $ \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} $ 表示变换后的 $ \mathbf{e}_1 $（即 x 轴单位向量），第二列 $ \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} $ 表示变换后的 $ \mathbf{e}_2 $（即 y 轴单位向量）。这种视角有助于理解矩阵对整个空间形状的影响。 ---