陶哲轩实分析定理11.9.1：微积分第一基本定理(一)

最新推荐文章于 2024-01-11 13:24:58 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/09/20/3827981.html

本文证明了若函数f在区间[a,b]上黎曼可积，则其定义在该区间上的积分函数F在该区间内连续。通过选取足够小的δ，使得任意两点x1和x2之间的差小于δ时，积分值的差小于任意给定的正实数ε。

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设$a<b$是实数，并设$f:[a,b]\to\mathbf{R}$是黎曼可积的，设$F:[a,b]\to\mathbf{R}$是函数$$F(x)=\int_{[a,x]}f$$那么$F$是连续的.

证明:

也就是证明，对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正实数$\delta$,使得当$|x_1-x_2|<\delta$时，便有
\begin{equation}
\label{eq:1}
|\int_{[a,x_2]}f-\int_{[a,x_1]}f|<\varepsilon
\end{equation}
其中$x_1,x_{2}\in [a,b]$.

由于$f$在$[a,b]$上黎曼可积,因此$f$在$[a,b]$上是一个有界函数(为什么?)，则取足够小的$\delta$，会导致
\begin{equation}
\label{eq:2}
|\int_{[a,x_2]}f-\int_{[a,x_1]}f|<\varepsilon
\end{equation}

因此$F$在$[a,b]$上连续.

转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/09/20/3827981.html