【loj2567】【APIO2016】划艇

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/Paul-Guderian/p/10840912.html

本文介绍了一种使用离散化DP方法解决特定数学问题的算法，即计算在给定条件下的单调上升序列数量。通过将数字范围离散化并分段，利用动态规划计算方案数，最终在O(n^3)的时间复杂度内得出答案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

$N$个位置，每个位置要么不选，要么选$[ a_i, b_i ]$中的一个数；

问最后的单调上升序列(mod 1e9+7)有多少种；

$1 \le N \le 500$

题解

orz abclzr
直接$dp$最后一位是什么数字的话只能得到31分
将数字离散化分段，第$i$段为$[l_i,r_i)$，设$f_{i,j}$表示第i个位置选的数字在第j段的方案数(第0段表示没有)
\[ f_{i,j} \ = \sum_{k=0}^{i-1} \sum_{l=0}^{j-1} f_{k,l} \times cal(k+1,i,j) \\ ans = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f_{i,j} \\ \]
其中 $ cal(l,r,x) $ 表示 $ [l,r) $ 都不选或者选在第j段并且单调上升的方案数
设 $ [ l,r) $ 这里面有 $ S $ 个包含x区间，x区间的长度为 $ L $　
\[ cal(l,r,x) = \sum_{i=0}^{S}(^S_i)(^L_{i+1}) = \sum_{i=0}^{S}(^S_{S-i})(^L_{i+1}) \\ 思考组合意义：左边选S-i个再在右边选i+1个相当与一起选S+1个\\ cal(l,r,x) = (^{S+L}_{S+1}) \\ \]

前缀和优化dp即可：$O(n^3)$　　

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
using namespace std;
const int N=1010,mod=1e9+7;
int n,tot,sub[N],L[N],R[N],ny[N],l[N],f[N][N];
void inc(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
int main(){
//    freopen("boat.in","r",stdin);
//    freopen("boat.out","w",stdout);
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1;i<=n;++i){
      scanf("%d%d",&L[i],&R[i]);
      sub[++tot]=L[i];
      sub[++tot]=++R[i];
  }
  sort(sub+1,sub+tot+1);
  tot=unique(sub+1,sub+tot+1)-sub-1;
  for(int i=1;i<=n;++i){
      L[i]=lower_bound(sub+1,sub+tot+1,L[i])-sub;
      R[i]=lower_bound(sub+1,sub+tot+1,R[i])-sub;
  }
  ny[1]=1;for(int i=2;i<=n;++i)ny[i]=(ll)(mod-mod/i)*ny[mod%i]%mod;
  for(int i=0;i<tot;++i)f[0][i]=1;
  for(int i=1;i<tot;++i)l[i]=sub[i+1]-sub[i];
  for(int i=1;i<=n;++i){
      for(int j=L[i];j<R[i];++j){
          int C=l[j],a=l[j],b=1;
          for(int k=i-1;~k;--k){
              inc(f[i][j],(ll)f[k][j-1]*C%mod);
              if(L[k]<=j&&j<R[k])C=(ll)C*(++a)%mod*ny[++b]%mod;
          }
      }
      for(int j=1;j<tot;++j)inc(f[i][j],f[i][j-1]);
  }
  int ans=0;for(int i=1;i<=n;++i)inc(ans,f[i][tot-1]);
  cout<<ans<<endl;
  return 0;
}

//菜兔兔写的部分分
#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=510,M=2000010,mod=1e9+7;
int n,a[N],b[N],len[N],sub[M],tot;
int f[M],g[M];
void inc(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
int main(){
//    freopen("boat.in","r",stdin);
//    freopen("boat.out","w",stdout);
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1;i<=n;++i){
      scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
      for(int j=a[i];j<=b[i];++j)sub[++tot]=j;
  }
  sort(sub+1,sub+tot+1);
  tot=unique(sub+1,sub+tot+1)-sub-1;
  f[0]=1;for(int i=0;i<=tot;++i)g[i]=1;
  for(int i=1;i<=n;++i){
      a[i]=lower_bound(sub+1,sub+tot+1,a[i])-sub;
      b[i]=lower_bound(sub+1,sub+tot+1,b[i])-sub;
      for(int j=a[i];j<=b[i];++j)f[j]=g[j];
      for(int j=a[i];j<=tot;++j)inc(g[j]=f[j],g[j-1]);
  }
  cout<<g[tot]-1<<endl;
  return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/Paul-Guderian/p/10840912.html