<think>我们要求解方程 \(x + y + z = 10\) 的正整数解（即 \(x, y, z\) 都是正整数）。
由于是正整数，所以 \(x, y, z \geq 1\)。
我们可以通过变量替换来转化为非负整数解问题：令 \(x' = x-1\), \(y' = y-1\), \(z' = z-1\)，则 \(x', y', z' \geq 0\)，并且原方程变为：
\((x'+1) + (y'+1) + (z'+1) = 10\)
即 \(x' + y' + z' = 7\)
这样问题就转化为求非负整数解的个数，这是一个经典的组合问题，使用“隔板法”求解。
非负整数解的个数为：\(C(7+3-1, 3-1) = C(9,2)\)。
组合数计算公式：\(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)。
所以 \(C(9,2) = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36\)。
因此，方程 \(x+y+z=10\) 的正整数解有36组。
但是，题目要求的是列出所有的正整数解吗？还是只要求个数？从问题来看，用户没有明确要求列出所有解，但是通常“求正整数解”可能包含列出所有解或者给出解的个数。
由于正整数解的数量是36个，如果要求列出所有解，我们可以按照一定的顺序（比如字典序）来列举。
然而，考虑到用户可能只需要解的个数，或者需要所有解，这里我们根据问题的常见需求，先给出解的个数，再说明如何列举。
如果要列举所有解，我们可以固定一个变量，然后求解其他两个变量。例如：
令 \(x\) 从1到8（因为y,z至少为1，所以x最大为8），然后对于每个x，y从1到9-x（同时z=10-x-y，且z>=1，所以y<=9-x），即：
for x in range(1, 9):
for y in range(1, 10-x):
z = 10 - x - y
# 此时z至少为1，因为y最大为9-x，所以z=10-x-y>=10-x-(9-x)=1
这样我们可以得到所有解。
但是，由于问题要求生成答案，并且要求具有实用性和可操作性，我们可以先给出解的个数，然后给出列举的方法，如果用户需要具体解，我们可以提供，但考虑到36组解较多，我们也可以选择不全部列出，除非用户要求。
根据任务要求，我们需要进行网络搜索吗？实际上这是一个经典的组合数学问题，不需要搜索。但为了遵循任务要求，我们仍然可以调用搜索工具确认一下，但通常结果就是36组。
然而，用户要求的是“正整数解”，所以我们的计算是正确的。
因此，我们可以这样回答：
方程 \(x + y + z = 10\) 的正整数解共有36组。
如果要求列出所有解，可以采用以下方法：
固定 \(x\) 的值（从1到8），然后 \(y\) 从1变化到 \(9-x\)，同时 \(z=10-x-y\) 即可得到所有解。
例如：
x=1, y=1, z=8
x=1, y=2, z=7
...
x=8, y=1, z=1
具体所有解如下（按字典序排列）：
1. (1,1,8)
2. (1,2,7)
3. (1,3,6)
4. (1,4,5)
5. (1,5,4)
6. (1,6,3)
7. (1,7,2)
8. (1,8,1)
9. (2,1,7)
10. (2,2,6)
11. (2,3,5)
12. (2,4,4)
13. (2,5,3)
14. (2,6,2)
15. (2,7,1)
16. (3,1,6)
17. (3,2,5)
18. (3,3,4)
19. (3,4,3)
20. (3,5,2)
21. (3,6,1)
22. (4,1,5)
23. (4,2,4)
24. (4,3,3)
25. (4,4,2)
26. (4,5,1)
27. (5,1,4)
28. (5,2,3)
29. (5,3,2)
30. (5,4,1)
31. (6,1,3)
32. (6,2,2)
33. (6,3,1)
34. (7,1,2)
35. (7,2,1)
36. (8,1,1)
但是，由于问题没有明确要求列出所有解，而且36组解较多，在回答中全部列出可能会显得冗长。我们可以根据用户的需求，如果用户需要全部解，我们可以提供，否则只提供个数和列举方法。
然而，根据任务要求，我们生成详细且清晰的回答，使其具有实用性和可操作性。因此，我们可以选择提供解的个数，并说明如何列举，同时提供部分解作为示例，并说明总共有36组，如果需要全部解可以按照上述方法列举。
但是，用户的问题是“求x+y+z=10的正整数解”，在数学问题中，通常需要给出解的个数以及所有解的表示。因此，我们给出解的个数，并说明列举方法，然后提供全部解（因为36组在可接受范围内）。
但是，由于要求避免步骤词汇，我们换一种方式组织。
最终回答：
方程 \(x + y + z = 10\) 的正整数解共有36组。这些解可以通过枚举法得到：固定 \(x\) 的值（从1到8），然后 \(y\) 从1变化到 \(9-x\)，同时计算 \(z=10-x-y\)（此时 \(z\) 自动满足大于等于1）。
所有解按字典序排列如下：
(1,1,8), (1,2,7), (1,3,6), (1,4,5), (1,5,4), (1,6,3), (1,7,2), (1,8,1),
(2,1,7), (2,2,6), (2,3,5), (2,4,4), (2,5,3), (2,6,2), (2,7,1),
(3,1,6), (3,2,5), (3,3,4), (3,4,3), (3,5,2), (3,6,1),
(4,1,5), (4,2,4), (4,3,3), (4,4,2), (4,5,1),
(5,1,4), (5,2,3), (5,3,2), (5,4,1),
(6,1,3), (6,2,2), (6,3,1),
(7,1,2), (7,2,1),
(8,1,1)
注意：这里每个解都是有序三元组，即 (x,y,z)。
另外，我们也可以使用组合数学的方法：通过变量替换（令 \(x'=x-1, y'=y-1, z'=z-1\)，则 \(x'+y'+z'=7\)，且 \(x',y',z'\) 为非负整数），则解的个数为 \(C(7+3-1, 3-1)=C(9,2)=36\)。
因此，答案是36组解。
相关问题部分：
根据用户的问题和我们的回答，相关问题可以包括：
1. 如何求方程 \(x+y+z=10\) 的非负整数解？
2. 方程 \(x+y+z=10\) 的正整数解中，满足 \(x\leq y\leq z\) 的有多少组？
3. 求方程 \(x+2y+3z=10\) 的正整数解。
注意：每个问题用阿拉伯数字标号，并放在最后。
严格按照格式：
§§相关问题§§:
1. 如何求方程 \(x+y+z=10\) 的非负整数解？
2. 方程 \(x+y+z=10\) 的正整数解中，满足 \(x\leq y\leq z\) 的有多少组？
3. 求方程 \(x+2y+3z=10\) 的正整数解。
注意：标题在同一行，不能换行或分割。
因此，完整回答如下：</think>方程 \(x + y + z = 10\) 的正整数解（\(x, y, z \geq 1\)）共有 **36 组**。可通过组合数学或枚举法求解：
1. **组合数学方法**：令 \(x' = x-1\), \(y' = y-1\), \(z' = z-1\)（\(x', y', z' \geq 0\)），原方程化为 \(x' + y' + z' = 7\)。非负整数解个数为组合数 \(C(7+3-1, 3-1) = C(9,2)\)：
$$C(9,2) = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$$
2. **枚举法**：固定 \(x\) 的值（范围 1 到 8），计算 \(y\) 和 \(z\)：
- \(x = 1\) 时，\(y\) 从 1 到 8，\(z = 9 - y\)（共 8 组）
- \(x = 2\) 时，\(y\) 从 1 到 7，\(z = 8 - y\)（共 7 组）
- 依此类推至 \(x = 8\) 时，\(y = 1, z = 1\)（共 1 组）
总组数：\(8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36\)
**所有解列表**（按字典序排列）：
(1,1,8), (1,2,7), (1,3,6), (1,4,5), (1,5,4), (1,6,3), (1,7,2), (1,8,1),
(2,1,7), (2,2,6), (2,3,5), (2,4,4), (2,5,3), (2,6,2), (2,7,1),
(3,1,6), (3,2,5), (3,3,4), (3,4,3), (3,5,2), (3,6,1),
(4,1,5), (4,2,4), (4,3,3), (4,4,2), (4,5,1),
(5,1,4), (5,2,3), (5,3,2), (5,4,1),
(6,1,3), (6,2,2), (6,3,1),
(7,1,2), (7,2,1),
(8,1,1)
**代码实现**（Python 生成所有解）：
```python
solutions = []
for x in range(1, 9):
for y in range(1, 10 - x):
z = 10 - x - y
if z >= 1:
solutions.append((x, y, z))
print(f"共有 {len(solutions)} 组解：")
print(solutions)
```
本文介绍了一种计算给定正整数n下，方程x+2y+3z=n的非负整数解(x,y,z)的数量的方法。通过将问题分解为两步，首先解决x+2y=m的解数量，然后通过迭代计算最终答案，并给出优化后的非循环解法。
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