求集合的子集

package com.xsz.demo;
/**   
 * @author cwqi  
 * @date 2014-11-19 下午9:55:31  
 */
public class SubSet {

	/**
	 * 求集合的子集
	 * @param args
	 */
	public static void main(String[] args) {
		int array[] = {1,2,3};
		SubSet.getSubSet(array);
	}

	private static void getSubSet(int[] array) {
		int len = array==null? 0:array.length;
		
		int total = (int)Math.pow(2,len)-1;//2的len次方-1,即子集的個數
		int factor = (int)Math.pow(2,len-1);//2的len-1次方
		
		for (int i = 0; i <=total; i++) {
			//subSetIndex轉成二進制后,1對應的array下標的元素為這個子集的元素
			//如0101,對應的子集為{24}
			int subSetIndex =i;
			
			//輸出一個子集
			int index = 0;
			System.out.print("{");
				while (subSetIndex != 0) {
					if ((subSetIndex & factor) ==factor) {
						System.out.print(array[index]);
					}
					subSetIndex = subSetIndex<<1;//左移一位
					index ++;
				}
			System.out.print("}");
			
			System.out.println();
		}
	}

}


转载于:https://my.oschina.net/u/1861837/blog/347075

<think>嗯,用户让我用递归的方法来写集合子集的算法。首先,我得回忆一下集合子集是怎么生成的。比如,一个集合{a, b, c}的子集包括空集、单个元素、两个元素和整个集合本身。总共有2^n个子集,n是元素个数。 递归的话,通常是把大问题分解成小问题。那对于子集生成,假设我已经有了一个更小集合子集,然后如何扩展到大集合呢?比如,如果我已经有了集合S' = S[1:]的所有子集,那么对于每个子集,我可以选择是否加入当前元素S[0]。这样,每次递归处理剩下的元素,然后把当前元素加到已有的子集里。 举个例子,假设现在集合是[1,2]。递归到最底层,当集合为空时,子集只有空集。然后返回上一层,处理元素2,这时候已有的子集是空集,加上2就得到包含2的子集。所以总共有空集和{2}。再上一层处理元素1,把每个已有的子集分成两种情况,不包含1和包含1,这样原来的空集变成空集和{1},而原来的{2}变成{2}和{1,2}。这样就得到了所有四个子集。 那具体怎么实现呢?递归函数可能需要接收当前的元素列表,然后逐步减少元素数量。比如,每次取第一个元素,剩下的元素递归处理。然后将当前元素添加到所有已有的子集中,生成新的子集,再合并原来的子集和新的子集。 比如,伪代码可能像这样: def subsets(s): if not s: return [[]] rest = subsets(s[1:]) return rest + [[s[0]] + subset for subset in rest] 不过要注意边界条件,当输入为空时返回包含空集的列表。每次递归调用处理剩下的元素,然后合并不包含当前元素和包含当前元素的情况。 那这个思路是否正确呢?测试一下,比如输入[1,2,3]。第一次调用处理[1,2,3],拆分成1和剩下的[2,3]。递归到处理[2,3],再拆分成2和[3]。递归到处理[3],拆分成3和空。空时返回[[]]。处理3的时候,rest是[[]],然后加上[3]+每个子集,即[3],所以结果是[[], [3]]。回到处理2的层级,rest是[[], [3]],所以返回[[], [3]] + [[2], [2,3]],得到四个子集。再回到处理1的层级,rest是这四个子集,加上每个加上1的情况,总共有八个子集。这样看来是对的。 那代码实现的时候需要注意列表的引用问题,比如在Python中,要确保每次添加的是新的列表,而不是修改原来的。所以在生成新子集的时候,要用[ [s[0]] + subset for subset in rest ],这里每次都会创建新的列表,避免修改原来的。 另外,用户可能需要具体的代码示例。所以最后应该给出Python的实现,并解释递归的过程。比如,函数接收一个列表,返回所有子集的列表。每个子集用列表表示。 总结一下步骤: 1. 基准情况:当集合为空时,子集只有空集。 2. 递归步骤:处理剩余元素,生成子集。 3. 将当前元素添加到所有剩余子集中,合并得到新的子集。 4. 返回合并后的结果。 这样就能生成所有可能的子集了。需要注意元素顺序是否重要,但子集的元素顺序无关紧要,所以无论怎么组合都是正确的。不过代码中的顺序可能取决于输入列表的顺序,但作为集合来说,子集的内容正确即可。</think>我们可以使用递归方法逐步生成集合的所有子集。以下是分步解释和示例代码: --- ### **递归思路分析** 1. **基准情况** 当集合为空时,唯一子集是空集:$$ \text{subsets}(\emptyset) = [\emptyset] $$ 2. **递归分解** 假设已知集合前 $n-1$ 个元素的所有子集,则第 $n$ 个元素有两种选择: - **不加入**当前元素:保留原有子集 - **加入**当前元素:将当前元素添加到所有已有子集中 数学表达为: $$ \text{subsets}(S) = \text{subsets}(S[1:]) \cup \{ \{S[0]\} \cup \text{subset} \mid \text{subset} \in \text{subsets}(S[1:]) \} $$ --- ### **Python代码实现** ```python def get_subsets(nums): if not nums: # 基准情况:空集的子集是空集 return [[]] # 递归获取剩余元素的子集 rest_subsets = get_subsets(nums[1:]) # 当前元素可加或不加 current = nums[0] new_subsets = [[current] + subset for subset in rest_subsets] return rest_subsets + new_subsets # 示例 nums = [1, 2, 3] print(get_subsets(nums)) # 输出:[[], [3], [2], [2, 3], [1], [1, 3], [1, 2], [1, 2, 3]] ``` --- ### **递归过程演示** 以集合 $[1, 2]$ 为例: 1. **初始调用**:`get_subsets([1, 2])` - 分解为 `current=1`, 递归处理 `[2]` 2. **递归调用**:`get_subsets([2])` - 分解为 `current=2`, 递归处理 `[]` 3. **基准情况**:`get_subsets([])` 返回 `[[]]` 4. **向上返回**: - `rest_subsets = [[]]`(对应不包含 `2` 的子集) - `new_subsets = [[2] + []] = [[2]]`(对应包含 `2` 的子集) - 合并后得到 `[[], [2]]` 5. **继续返回**: - `rest_subsets = [[], [2]]`(不包含 `1` 的子集) - `new_subsets = [[1] + [], [1] + [2]] = [[1], [1, 2]]`(包含 `1` 的子集) - 合并后得到 `[[], [2], [1], [1, 2]]` --- ### **复杂度分析** - **时间复杂度**:$O(2^n)$,每个元素有“选”或“不选”两种选择,共生成 $2^n$ 个子集 - **空间复杂度**:$O(n \cdot 2^n)$,递归栈深度为 $n$,结果存储需要 $2^n$ 个列表 通过递归逐步合并子集,可以高效生成所有可能的子集
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