本文详细证明了闭集包含其闭包的数学原理，并通过实例展示了如何利用这一性质解决数学问题。重点阐述了闭集与闭包的概念、定义及其相互关系，为读者提供了一个深入理解闭集性质的视角。
设$X$是$\mathbf{R}$的子集合，证明$\overline{X}$是闭的.进而证明,若$Y$是包含$X$的闭集,那么$Y$也包含$\overline{X}$.
证明:$\overline{X}$是闭集的证明请见这里.下面我来证明第二点.
\begin{align*}
\overline{X}\subseteq Y\Rightarrow
\overline{\overline{X}}\subseteq \overline{Y}\Rightarrow
\overline{X}\subseteq \overline{Y}
\end{align*}
由于$Y$是闭集,因此
\begin{align*}
\overline{Y}=Y
\end{align*}
即
\begin{align*}
\overline{X}\subseteq Y
\end{align*}
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