无穷自然数证明
本文提供了一个数学证明，表明存在无限数量的自然数无法表示为一个正整数的平方加上一个正素数的形式。通过构造性的方法，证明了如果只有有限个例外，那么将导致一系列连续的完全平方数都可以表示为该特定形式，最终推导出矛盾。
证明:存在无穷多个自然数$n$,使得$n$不能表示为
$$a^2+p(a\in\bf{Z}^+)$$$p$是正素数.
证明:若除了有限几个自然数，其它的自然数都能表示成这种形式，则从某个正完全平方数$b_1^2$开始，接下来所有的完全平方数能表示成这种方式.令$b_1>1$,$b_1^2=a_1^2+p_1$,则$b_1^2-a_1^2=p_1$,即$p_1=(b_1+a_1)(b_1-a_1)$.则$b_1-a_1=1$.也就是说，$p_1=2a_1+1$.然后考虑$b_2^2=(b_1+1)^2$.则$p_2=2b_1+1=2a_1+3$. 考虑$b_3^2=(b_2+1)^2$,可得$p_3=2b_2+1=2b_1+3=2a_1+5$.……
于是，我们得
$$2a_1+1,2a_1+3,2a_1+5,2a_1+7,\cdots$$都是素数，而易證這顯然是不可能的.
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