bzoj2721樱花——质因数分解

最新推荐文章于 2025-09-09 18:53:59 发布

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本文针对洛谷题目2721提供了一种基于质因数分解的方法来求解方程1/x+1/y=1/n!的正整数解的组数。通过对x和y的关系进行推导，并利用(n!)^2的约数个数计算解的数量。

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2721

要推式子！

发现x和y一定都比 n! 大。不妨设 x = n!+k；

　　则1/x + 1/y = 1/ n!

　　<=> ( n! + k + y ) / ( n! + k ) * y = 1 / n!

　　<=> n! * y+ k * y= (n!)^2 + n! * k + n! * y

　　<=> y = (n!)^2 / k + n!

所以( x, y ) 的个数 = y 的个数 = k的个数 = (n!)^2 的约数个数。

通过质因数分解求出约数个数。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e6+5;
const ll mod=1e9+7;
int n,pri[N],mindiv[N],cnt[N],xnt;
ll ans;
void init()
{
    ans=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!mindiv[i])pri[++xnt]=i,mindiv[i]=xnt;
        for(int j=1;j<=xnt&&i*pri[j]<=n;j++)// i*pri[j]<=n!!!
        {
            mindiv[i*pri[j]]=j;
            if((i%pri[j])==0)break;
        }
    }
}
ll calc(int a)
{
    while(a!=1)
    {
        cnt[mindiv[a]]++;
        a/=pri[mindiv[a]];
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    init();
    while(n)calc(n),n--;
    for(int i=1;i<=xnt;i++)
        (ans*=(cnt[i]*2+1))%=mod;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}