如何通过牛顿法求近似平方根？

最新推荐文章于 2024-06-22 14:51:34 发布

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#数据结构与算法 #人工智能 #javascript #ViewUI

本文是考拉内部技术分享，介绍用牛顿法求近似平方根。先给出代码，再从图形和代数两方面推导其原理，还指出牛顿法除求平方根外，在机器学习算法优化步骤中可求任意函数最优解，最后建议做leetcode的sqrtx题加深理解。

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这是一篇考拉内部小型技术分享的文章。
这次分享一个求近似平方根的快速方法: 牛顿法。
先上代码:

def sqrt(n):
    ret = n
    while ret * ret > n:
        ret = (ret + n / ret) / 2
    return ret

print(sqrt(4))
print(sqrt(2))
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代码很简短，很神奇，为什么这样子可以求出来平方根呢？下面来推导一下。

设n的平方根为x，则有 x^2 = n , 即 x^2 - n = 0 , 写成对x的函数的形式为 f(x) = x^2 - n 。假设n=4, 我们都知道，4的平方根是2，那用牛顿法怎么求出来呢？先画出来这个函数的图形。

from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
%matplotlib notebook

xs = np.linspace(-6, 6, 1000)
ys = [x * x - 4 for x in xs]

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.plot(xs, [0] * 1000)
plt.plot([0] * 1000, np.linspace(-6, 30, 1000))
plt.plot(xs, ys)
复制代码

<IPython.core.display.Javascript object>  
复制代码

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x1217b25f8>]
复制代码

然后我们取一个点，先取点 x_0(4, 12) , 然后做一条切线，它会跟x轴相交于点(2.5, 0), 相同横坐标对应函数上的点为 x_1(2.5, 2.25) , 然后我们在 x_1 处再做一条切线，它会和x轴相交于点(2.05, 0), 相同横坐标对应函数上的点为 x_2(2.05, 0.2025) , 继续这样迭代下去，将很快求出来最后x是2.

def f(x):
    return x * x - 4

xs = np.linspace(-6, 6, 1000)
ys = [f(x) for x in xs]

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.plot(xs, [0] * 1000)
plt.plot([0] * 1000, np.linspace(-6, 30, 1000))
plt.plot(xs, ys)
plt.plot(4, f(4), 'ro')
plt.annotate('x0(4, 12)', (2, 12))
plt.plot([4, 4], [0, 12], '--')

k0 = (f(4 + 0.1) - f(4 - 0.1)) / 0.2
b0 = f(4) - k0 * 4

def f_tangent0(x):
    """
    点x0的切线方程
    """
    return k0 * x + b0

xs = np.linspace(2, 6, 1000)
ys = [f_tangent0(x) for x in xs]
plt.plot(xs, ys)

plt.plot(2.5, f(2.5), 'ro')
plt.annotate('x1(2.5, 2.25)', (0.5, 5))
plt.plot([2.5, 2.5], [0, 2.25], '--')

k1 = (f(2.5 + 0.1) - f(2.5 - 0.1)) / 0.2
b1 = f(2.5) - k1 * 2.5

def f_tangent1(x):
    """
    点x1的切线方程
    """
    return k1 * x + b1

xs = np.linspace(1, 6, 1000)
ys = [f_tangent1(x) for x in xs]
plt.plot(xs, ys)


# plt.plot(2.05, f(2.05), 'ro')
# plt.annotate('x1(2.05, 0.2)', (2.05, -5))

复制代码

<IPython.core.display.Javascript object>
复制代码

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x12ee97c18>]
复制代码

从图形上可以比较直观的理解牛顿迭代法，但是从代数上怎么进行计算呢？现在来推导一下:

设n的平方根为x，则有 x^2 = n , 即 x^2 - n = 0 , 写成对x的函数的形式为 f(x) = x^2 - n ，我们取一个点 x_0 , 作一条切线，那么切线的斜率k就是的导数:

由上面的图可以看出来，作x0到x轴的垂线，围成了一个三角形，由三角定理可知:

t = \dfrac{f(x_0)}{x_0 - x_1} = \dfrac{x_0^2 - n}{x_0 - x_1}

所以有:

化简得:

再看一次代码:

def sqrt(n):
    ret = n
    while ret * ret > n:
        ret = (ret + n / ret) / 2
    return ret
复制代码

一致!

牛顿迭代法求平方根就是这样推导出来的。

其实牛顿法，除了应用在求平方根上，还有很多应用，在机器学习算法的最后优化步骤中，会使用牛顿法求任意函数的最优解，不仅限于 x^2 -n 这种类型。

建议大家做一下leetcode这道题: sqrtx，会加深理解。

分享内容出自考拉程序猿Hank的blog Hank‘s blog

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