<think>好的，我现在需要解决用户的问题，即在直线上选择两个位置建立邮局，以最小化居民到邮局的总距离之和。这个问题看起来和之前了解的邮局选址问题类似，但之前的中位数策略是针对单一邮局的情况，而现在是两个邮局。我需要仔细分析问题，找到合适的算法，并用Python实现。
首先，用户的问题是在一维空间（直线上）放置两个邮局，使得所有居民点到最近的邮局的距离之和最小。这应该是一个优化问题。对于单个邮局的情况，中位数位置是最优解，因为中位数使绝对偏差之和最小。但扩展到两个邮局的话，可能需要将居民点分成两组，每组对应一个邮局，每个组的中位数位置作为邮局的位置，这样总距离和才能最小。
那问题就转化为如何将居民点分成两个最优的子集。可能的思路是：将所有居民点排序后，找到一种分割方式，将居民点分成左右两部分，左边部分的中位数作为左邮局的位置，右边部分的中位数作为右邮局的位置。然后计算总距离，找到最小的分割方式。
例如，居民点排序后，假设有n个点。我们可以尝试在所有可能的分割点k（比如前k个点归左邮局，剩下的n-k个归右邮局），然后对每个k计算总距离之和，找到最小值。
但这样可能的时间复杂度是O(n^2)，对于较大的n可能会比较慢。比如当n是10000的时候，这样的算法可能不够高效。用户提到的引用中的例子是使用中位数策略，但那是针对单个邮局的情况。而两个邮局的情况，可能需要更高效的方法。
有没有更优的方法？比如，如何确定分割点使得左右两部分的中位数最优？
假设居民点已经排序为x1 <= x2 <= ... <= xn。对于每个可能的分割点k（比如分割成前k个和后n-k个），总距离是左部分到左中位数的距离和加上右部分到右中位数的距离和。我们需要找到k从1到n-1的情况下的最小值。
例如，当k=1时，左边有一个点，右边n-1个点；当k=2时，左边有两个点，右边n-2个点，依此类推。对于每个k，左中位数是第k//2个点，右中位数是第k + (n -k)//2个点吗？或者更准确地说，当分割成前k个点和后m个点（m = n -k），左中位数是前k个点的中位数，右中位数是后m个点的中位数。然后总距离是这两部分各自的绝对差之和的总和。
那如何高效计算各个分割点对应的总距离呢？
首先，排序是必须的。然后预处理前缀和数组，这样可以快速计算某个区间内的绝对差之和。例如，对于一个排序后的数组，求前k个元素的绝对差之和，可以通过前缀和数组在O(1)的时间内得到。
例如，假设有一个数组sorted_x，前缀和数组prefix_sum，那么对于区间[left, right]，其中位数是mid = (left + right) // 2。该区间的绝对差之和可以计算为：
sum = (mid - left) * sorted_x[mid] - (prefix_sum[mid] - prefix_sum[left])
+ (prefix_sum[right] - prefix_sum[mid]) - (right - mid) * sorted_x[mid]
这样，总距离的计算可以优化到O(1)的时间。因此，预处理前缀和后，每个分割点k的总距离之和可以通过左右两部分的绝对差之和相加得到。
那具体步骤可能是这样的：
1. 对居民点进行排序。
2. 计算前缀和数组。
3. 枚举所有可能的分割点k（从1到n-1），将数组分割为前k个和后n-k个。
4. 对于每个k，分别计算左部分和右部分的绝对差之和，相加得到总距离。
5. 找到总距离最小的k对应的两个中位数位置作为邮局的位置。
这样的算法时间复杂度是O(n log n)（排序的时间）加上O(n)的预处理和枚举，因此对于n较大的情况（如1e4）应该是可以接受的。
接下来，如何实现这个算法？
首先，将输入的居民点排序，并计算前缀和数组。然后枚举分割点k，计算左边和右边的总距离。然后找出最小的总距离对应的分割点。
例如，假设居民点排序后的数组是x，前缀和为prefix。对于分割点k，左边是x[0...k-1]，右边是x[k...n-1]。
对于左边k个元素，中位数位置是mid1 = k//2。例如，k是偶数时，选第k//2 -1或k//2？比如，当k=4时，中位数是第二个元素（索引1）还是第三个（索引2）？或者根据中位数的定义，当k为偶数时，中位数可以是中间两个数中的任意一个，因为绝对差之和在这两个数之间是相同的。因此，无论选哪一个，总距离都是一样的。所以在计算时，可以统一取mid = (k-1)//2？或者采用更准确的方法？
实际上，对于已排序的数组，绝对差之和的中位数是中间的那个数（当奇数时）或中间两个中的任意一个（当偶数时）。所以，当k是奇数时，中位数是中间的那个点；当k是偶数时，可以选择中间左边的点或中间右边的点，但绝对差之和在这两种情况下的总和是相同的。因此，在计算时，可以统一取中间左边的点，比如索引为(k-1)//2的位置。
这样，计算左边的前k个元素的总距离，可以用前缀和数组快速计算。同样的，右边部分的总距离也是如此。
那如何计算前k个元素的总距离？假设数组是sorted_x，前缀和数组是prefix，其中prefix[i]表示前i个元素的和。对于前k个元素，中位数位置是mid = (k-1)//2。总距离的计算公式为：
left_sum = (mid+1)*sorted_x[mid] - prefix[mid+1] + (prefix[k] - prefix[mid+1]) - (k - mid -1)*sorted_x[mid]
这是因为前mid+1个元素的每个元素都比sorted_x[mid]小或等于，而后面的元素更大或等于。总距离等于中位数乘以个数减去前半部分的和，加上后半部分的和减去中位数乘以个数。
或者更准确地说，对于前k个元素来说，总距离是sum_{i=0}^{k-1} |x[i] - x[mid]|，其中mid是(k-1)//2。
利用前缀和数组，可以快速计算这个总和。例如：
mid = (k-1) // 2
left_part = prefix[mid + 1] - prefix[0]
right_part = prefix[k] - prefix[mid + 1]
distance_left = (mid + 1) * x[mid] - left_part + right_part - (k - mid - 1) * x[mid]
同样的，对于右边m = n -k个元素，中位数是右边的中间位置。右边部分的起始索引是k，总共有m个元素，所以中位数位置是k + (m-1)//2 = k + ((n -k) -1)//2。
例如，当m是偶数时，比如m=4，则中位数位置是第2个元素（索引k+1）或第3个元素（k+2）？不管选哪个，总距离都是一样的。所以，右边部分的中位数索引是k + (m-1)//2 =k + ( (n -k) -1 )//2.
那么，右边的总距离计算方式类似：
mid_r = k + (m-1)//2 = k + ((n -k) -1)//2
right_part_sum = sum_{i=k}^{n-1} |x[i] - x[mid_r]|
同样可以用前缀和数组计算：
m = n -k
mid_r = k + (m-1)//2
right_part_left = prefix[mid_r +1] - prefix[k]
right_part_right = prefix[n] - prefix[mid_r +1]
distance_right = (mid_r -k +1) * x[mid_r] - right_part_left + right_part_right - (m - (mid_r -k +1)) * x[mid_r]
这样，总距离是distance_left + distance_right。
遍历所有可能的k（从1到n-1），计算每个k对应的总距离，找到最小的那个。这样就能得到两个邮局的位置，即左边部分的中位数和右边部分的中位数。
现在，我需要验证这个思路是否正确。例如，考虑一个例子：
假设居民点排序后的数组是 [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]。如果k=5，则左边是前5个元素，中位数是第三个元素（3），右边是后5个元素，中位数是第8个元素（8）。总距离是左边到3的距离和加上右边到8的距离和。左边总距离是 (3-1)+(3-2)+(3-3)+(4-3)+(5-3) = 2+1+0+1+2=6。右边总距离是 (8-6)+(8-7)+(8-8)+(9-8)+(10-8) =2+1+0+1+2=6。总距离是12。这时是否最优？
但可能分割点不同会有更优的结果。例如，当k=3时，左边是前3个元素，中位数是2（索引1），右边是7个元素，中位数是5.5的位置？比如当右边是4,5,6,7,8,9,10，其中位数是7。此时左边总距离是 (2-1)+(2-2)+(3-2)=1+0+1=2。右边总距离是每个点到7的距离：(7-4)+(7-5)+(7-6)+(7-7)+(8-7)+(9-7)+(10-7) =3+2+1+0+1+2+3=12。总距离是2+12=14，比之前的12大。所以这个例子中k=5的分割可能更好。
另一个例子，当居民点是 [1,2,3,4,5]。要选择两个邮局。可能的分割点k=2，左边两个点，中位数是1.5？或者具体来说，左边是[1,2]，中位数是1.5的位置，但由于是整数，可以取1或2？根据之前的思路，左边k=2，中位数是（2-1)//2=0，即索引0的位置？或者（k=2，mid=(2-1)//2=0）即第一个元素。此时左边总距离是 |1-1| + |2-1|=0+1=1。右边是3,4,5，中位数是4。总距离是 |3-4| + |4-4| + |5-4|=1+0+1=2。总距离是3。而如果分割点k=3，左边是前三个元素[1,2,3]，中位数是2。总距离是1+0+1=2。右边是[4,5]，中位数是4。总距离是0+1=1。总距离是3。同样的结果。所以无论怎么分割，总距离可能相同。
但此时，邮局的位置是1和4，或者2和4，总距离都是3。这似乎是对的。
那这说明算法是正确的，只要分割后的左右部分的中位数正确，那么总距离是可以通过上述方法计算的。
现在，如何编写Python代码？
步骤：
1. 输入居民点，读取并排序。
2. 计算前缀和数组。
3. 遍历所有可能的分割点k（从1到n-1），对于每个k，计算左右两部分的距离和。
4. 找到总距离最小的k对应的两个中位数的位置，并计算总距离。
5. 输出最小的总距离。
注意，当n=1时，必须建立两个邮局？但题目中的情况可能n>=2。需要处理n小于2的情况吗？根据用户的问题，可能n是居民点的数量，如果n=1，需要建立两个邮局的话，那么该居民点会去最近的邮局，两个邮局的位置可以是同一个点。但根据问题描述，可能假设居民点数量足够多，或者题目保证n>=2？
在代码中需要处理输入的可能情况。比如，如果n=1，可能无法分割，或者需要特殊处理。但根据问题描述，可能用户的问题中的居民点数量足够多。
现在，编写代码的大纲：
读取居民点列表，例如：
n = int(input())
points = []
for _ in range(n):
x = int(input().strip()) # 因为是在直线上，每个居民点只有一个坐标
points.append(x)
points.sort()
然后计算前缀和：
prefix = [0] * (n+1)
for i in range(n):
prefix[i+1] = prefix[i] + points[i]
然后遍历所有k的可能，从1到n-1：
min_total = float('inf')
best_left = -1
best_right = -1
for k in range(1, n):
# 左边是前k个元素
left_n = k
mid_left = (left_n -1) // 2 # 索引是mid_left
sum_left = (mid_left +1)*points[mid_left] - (prefix[mid_left +1] - prefix[0])
sum_left += (prefix[k] - prefix[mid_left +1]) - (left_n - mid_left -1)*points[mid_left]
# 右边是n -k个元素
right_n = n -k
start_right = k
mid_right = start_right + (right_n -1) // 2
sum_right = ( (mid_right - start_right +1)*points[mid_right] ) - (prefix[mid_right +1] - prefix[start_right])
sum_right += (prefix[n] - prefix[mid_right +1]) - (right_n - (mid_right - start_right +1 )) * points[mid_right]
total = sum_left + sum_right
if total < min_total:
min_total = total
best_left = points[mid_left]
best_right = points[mid_right]
return min_total
但这里要注意，当right_n为0时的情况，但k的取值范围是1到n-1，所以right_n >=1。
例如，当k=1时，右边n-1 >=1。
所以代码不需要处理right_n=0的情况。
最后，返回最小的总距离。
那在用户的问题中，可能需要输出最小的总距离，或者两个邮局的位置。根据用户的问题描述，用户想寻找Python代码实现，“解决在直线上选择两个位置建立邮局以最小化居民到邮局的距离之和的问题”，所以代码可能需要输出最小的总距离之和，或者同时输出两个邮局的位置。
假设用户需要输出最小总距离，那么代码可以这样写。
现在，测试这个算法是否正确。
例如，测试用例1：
输入居民点：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
当k=5时，左边前5个是1-5，中位数是3（索引2），右边5个是6-10，中位数是8（索引7）。左边总距离是（3-1)+(3-2)+(3-3)+(4-3)+(5-3) =2+1+0+1+2=6。右边总距离是（8-6)+(8-7)+(8-8)+(9-8)+(10-8)=2+1+0+1+2=6。总距离是12。这是否是当前算法计算的结果？
用前缀和计算：
prefix数组的值是[0,1,3,6,10,15,21,28,36,45,55]
左边k=5，mid_left=(5-1)//2=2。sum_left= (3)*points[2] - prefix[3] + (prefix[5] - prefix[3]) - (5-3-1)*points[2]
points[2] =3.
sum_left左边部分：3*3 - (6) =9-6=3。右边部分：15-6=9，减去 (5-3-1)=1*3 →9-3=6。sum_left=3+6=9？但实际总距离是6。这说明哪里出错了？
啊，看来我的计算方式可能有问题。可能我写错了公式？
原公式中的左边部分的计算应为：
左边的中位数是mid_left处的值。总距离等于：
sum_{i=0}^{k-1} |x[i] - x[mid_left]|
根据前缀和的计算方式，正确的计算方式应该是：
左边的总距离 = x[mid_left] * (mid_left +1) - prefix[mid_left+1]
加上
(prefix[k] - prefix[mid_left+1]) - x[mid_left] * (k - (mid_left +1))
所以总和是：
distance_left = x[mid_left]*(mid_left+1) - prefix[mid_left+1] + (prefix[k] - prefix[mid_left+1]) - x[mid_left]*(k - mid_left -1)
合并后：
distance_left = x[mid_left]*(mid_left +1 + (k - mid_left -1)) ) - prefix[mid_left+1] + (prefix[k] - prefix[mid_left+1])
这可以简化为：
x[mid_left] * (k) - 2*prefix[mid_left+1] + prefix[k]
例如，当k=5，mid_left=2，x[mid_left]=3，prefix[mid_left+1]=6，prefix[k]=15:
distance_left = 3*5 - 2*6 +15 =15 -12 +15=18？这与之前手动计算的6不符。这说明我的公式推导有错误。
这说明我犯了错误，需要重新推导正确的公式。
正确的绝对差之和的计算方式：
对于已排序数组中的前k个元素，其中中位数位于索引m = (k-1)//2。
绝对差之和的计算可以通过以下方式：
sum_{i=0}^{m} (x[m] - x[i]) + sum_{i=m+1}^{k-1} (x[i] - x[m])
第一部分的和等于 x[m]*(m+1) - sum_{i=0}^m x[i]
第二部分的和等于 sum_{i=m+1}^{k-1}x[i] - x[m]*(k-1 -m)
总和为：
x[m]*(m+1) - prefix[m+1] + (prefix[k] - prefix[m+1]) - x[m]*(k-1 -m)
合并得：
x[m]*(m+1 + (- (k-1 -m))) + (prefix[k] - 2*prefix[m+1])
等式中的第一部分：
x[m]*(m+1 -k +1 +m) → x[m]*(2m +2 -k )
这看起来比较复杂。或许应该重新用具体的例子验证。
例如，前k=5个元素，x是1,2,3,4,5，m=2。正确总距离是：
（3-1)+(3-2)+(3-3)+(4-3)+(5-3)=2+1+0+1+2=6.
按照公式：
m=2，x[m]=3，prefix[m+1]=prefix[3]=1+2+3=6.
第一部分：3*(3) -6=9-6=3.
第二部分：prefix[5] -prefix[3] =15-6=9 →9 -3*(5-3-1) →9 -3*1=6.
总和3+6=9？与正确的6不符。这说明公式推导错误。
这说明我的计算方式不正确。那我必须重新推导正确的公式。
正确的计算方式应该是什么样的？
假设数组是sorted_x，前k个元素的中位数是sorted_x[m]，其中m = (k-1)//2。
总距离 = sum_{i=0}^{m} (sorted_x[m] - sorted_x[i]) + sum_{i=m+1}^{k-1} (sorted_x[i] - sorted_x[m])
第一部分的sum是sorted_x[m]*(m+1) - sum_{i=0}^m sorted_x[i]
第二部分的sum是sum_{i=m+1}^{k-1} sorted_x[i] - sorted_x[m]*(k-1 -m)
总和为：sorted_x[m]*(m+1) - prefix[m+1] + (prefix[k] - prefix[m+1]) - sorted_x[m]*(k-1 -m)
合并项：
sorted_x[m]*(m+1 - (k-1 -m)) ) + (prefix[k] - 2*prefix[m+1])
简化：
sorted_x[m]*(m+1 -k +1 +m) → sorted_x[m]*(2m +2 -k)
所以总距离是：
sorted_x[m]*(2m +2 -k) + (prefix[k] - 2*prefix[m+1])
在之前的例子中，k=5，m=2：
2m+2 -k =2*2+2-5=4+2-5=1. →3*1=3.
prefix[k] -2*prefix[m+1] =15-2*6=3.
总和是3+3=6，与实际计算一致。这说明正确的公式是：
distance = sorted_x[m]*(2*m +2 -k) + (prefix[k] - 2*prefix[m+1])
或者等价于：
distance = sorted_x[m]*( (m+1)*2 -k ) + (prefix[k] - 2*prefix[m+1])
所以，在代码中计算左边距离时应该使用这个公式。
同样的，对于右边部分，假设有m = n -k个元素，起始索引为k。中位数索引为m_r = (m-1)//2，对应的全局索引是k + m_r。右边的总距离：
sum_{i=k}^{k + m_r} (sorted_x[k + m_r] - sorted_x[i]) + sum_{i=k + m_r +1}^{k + m -1} (sorted_x[i] - sorted_x[k + m_r])
这个总和的计算公式应该类似：
distance_right = sorted_x[k + m_r] * (m_r +1) - (prefix[k + m_r +1] - prefix[k])
+ (prefix[k + m] - prefix[k + m_r +1])
- sorted_x[k + m_r] * (m - m_r -1 )
合并之后：
sorted_x[k + m_r] * ( (m_r +1) - (m - m_r -1) )
+ (prefix[k + m] - prefix[k] - 2*(prefix[k + m_r +1] - prefix[k]) )
或者简化：
sorted_x[k + m_r] * (2*m_r +2 -m) + (prefix[k + m] - 2*prefix[k + m_r +1] + prefix[k])
这可能比较复杂。或者，使用类似左边的公式：
对于右边部分，元素个数是m =n-k，起始索引是k。中位数是位于 m_r = (m-1)//2的位置（相对于右边的数组而言），全局索引是k + m_r.
总距离的计算：
distance_right = sorted_x[k + m_r]*(2*m_r +2 -m) + (prefix[k + m] - prefix[k] - 2*(prefix[k + m_r +1] - prefix[k]))
或者：
distance_right = sorted_x[k + m_r]*(2*m_r +2 -m) + (prefix[k + m] + prefix[k] - 2*prefix[k + m_r +1])
例如，测试右边部分的计算：
假设右边是6,7,8,9,10（n=10，k=5，所以右边有5个元素，m=5，m_r=(5-1)//2=2。全局索引是5+2=7，对应的sorted_x[7]=8.
distance_right = 8*(2*2 +2 -5) + (prefix[5+5] - prefix[5] -2* (prefix[5+2+1] - prefix[5]))
即：8*(4+2-5)=8*1=8 → 8*1=8.
prefix[10] - prefix[5]是55-15=40.
prefix[5+2+1]是prefix[8]=36.
所以：40 - 2*(36-15) =40 -2*21=40-42= -2.
所以总distance_right=8 + (-2) =6。与实际计算结果一致。
这说明这个公式是正确的。
因此，代码中左边的distance_left和右边的distance_right的计算应该按照这个公式。
现在，修正代码中的计算方式：
对于左边k个元素：
m_left = k
mid_left = (m_left -1) // 2 →即左边部分的中位数索引。
distance_left = points[mid_left] * (2*mid_left +2 -m_left) + (prefix[m_left] - 2*prefix[mid_left +1])
因为左边的前缀和是prefix[k] - prefix[0]，而m_left=k，所以这里的公式是否正确？
或者，原式中的prefix数组是整个数组的前缀和，所以左边部分的前k个元素的和是prefix[k] - prefix[0]，而prefix[0]是0。所以：
当计算左边的distance时，公式中的prefix[k]即前k个元素的总和。
例如，在左边的计算中：
distance_left = points[mid_left]*(2*mid_left +2 -k) + (prefix[k] - 2*prefix[mid_left+1])
同样，右边的部分：
m = n -k
mid_r = (m-1)//2 →右边部分的中位数索引（相对于右边的子数组）。
global_mid_r = k + mid_r
distance_right = points[global_mid_r] * (2*mid_r +2 -m) + (prefix[k + m] - prefix[k] - 2*(prefix[global_mid_r +1] - prefix[k]))
或者，可以写成：
distance_right = points[global_mid_r] * (2*mid_r +2 -m) + ( (prefix[k + m] - prefix[k]) - 2*(prefix[global_mid_r +1] - prefix[k]) )
即：distance_right = points[global_mid_r] * (2*mid_r +2 -m) + (prefix[k + m] - 2*prefix[global_mid_r +1] + prefix[k])
现在，编写正确的代码：
例如，左边k个元素的distance_left：
mid_left = (k -1) // 2
term1 = points[mid_left] * (2*mid_left +2 -k)
term2 = (prefix[k] - 2*prefix[mid_left +1])
distance_left = term1 + term2
右边部分：
m = n -k
mid_r_local = (m -1)//2
global_mid_r = k + mid_r_local
term1_r = points[global_mid_r] * (2*mid_r_local +2 -m)
term2_r = (prefix[k + m] - prefix[k]) - 2*(prefix[global_mid_r +1] - prefix[k])
distance_right = term1_r + term2_r
或者，可以合并term2_r为：
term2_r = prefix[k +m] - 2*prefix[global_mid_r +1] + prefix[k]
现在，将代码中的sum_left和sum_right的计算用这些公式。
这样，在之前的测试用例中，当k=5时：
distance_left =3*(2*2 +2 -5) + (15-2*6) →3*(4+2-5) + (15-12)=3*(1)+3=6.
distance_right=8*(2*2 +2 -5) + (55-15) -2*(36 -15) →8*(1) +40 -2*21 →8+40-42=6.
总和12，与实际计算一致。这说明公式正确。
现在，代码可以正确计算总距离。
综上，现在可以编写正确的Python代码。
现在，处理居民点的输入。假设居民点的输入是每个居民点的坐标在直线上，即每个居民点只有一个整数坐标。例如输入：
3
1
3
5
这表示三个居民点，坐标是1、3、5，排序后为[1,3,5]。当选择分割点k=1，左边1个元素（1），右边2个元素（3,5）。
左边中位数是0号索引（1），distance_left是0（因为只有一个点，到自身的距离为0）。
右边部分，中位数是第（2-1)//2=0号索引（相对于右边的数组，即原数组的索引1，值3）。distance_right是（3-3)+(5-3)=0+2=2.
总距离0+2=2.
而另一个可能的分割点是k=2，左边两个元素（1,3），中位数是0号索引（1），distance_left是 (1-1)+(3-1)=0+2=2.
右边1个元素（5），distance_right=0.总距离2+0=2.
所以，总距离的最小是2。
此时，两个邮局的位置是1和3，或者1和5，或者3和5？
根据我们的算法，左边分割为k=1时，右边中位数是3。总距离为0+2=2。而当分割为k=2时，左边中位数是1，右边中位数是5。总距离是2+0=2。两种情况下的总距离相同，所以算法会取其中一种情况的最小值。
在代码中，会遍历所有k的可能，并找到最小的总距离。因此，这个例子中，正确输出是2.
现在，编写完整的代码：
def minimal_total_distance():
import sys
n = int(sys.stdin.readline())
points = []
for _ in range(n):
x = int(sys.stdin.readline().strip())
points.append(x)
points.sort()
prefix = [0]*(n+1)
for i in range(n):
prefix[i+1] = prefix[i] + points[i]
min_total = float('inf')
for k in range(1, n):
# 左边k个元素
mid_left = (k-1)//2
term1 = points[mid_left] * (2*mid_left +2 -k)
term2 = prefix[k] - 2*prefix[mid_left+1]
distance_left = term1 + term2
# 右边n-k个元素
m = n -k
mid_r_local = (m-1)//2
global_mid_r = k + mid_r_local
term1_r = points[global_mid_r] * (2*mid_r_local +2 -m)
term2_r = prefix[k +m] - 2*prefix[global_mid_r +1] + prefix[k]
distance_right = term1_r + term2_r
total = distance_left + distance_right
if total < min_total:
min_total = total
print(min_total)
if __name__ == "__main__":
minimal_total_distance()
测试这个代码是否正确。
测试用例1：
输入：
3
1
3
5
预期输出：2
代码运行后的结果是否正确？
是的，当k=1时，distance_left=0+0=0？或者计算过程：
k=1，mid_left=(1-1)//2=0 → points[0]=1.
term1=1*(0*2 +2 -1) =1*(0+2-1)=1*1=1.
term2=prefix[1] -2*prefix[1] →prefix[1]=1 →1-2*1= -1.
distance_left=1+(-1)=0.
右边m=2，mid_r_local=(2-1)//2=0 →global_mid_r=1+0=1 →points[1]=3.
term1_r=3*(0*2+2-2)=3*(0+0)=0.
term2_r=prefix[1+2] -2*prefix[1+0+1] + prefix[1] →prefix[3]=1+3+5=9，prefix[2]=1+3=4 →9 -2*4 +1=9-8+1=2.
distance_right=0+2=2.
总距离0+2=2.
当k=2时，mid_left=(2-1)//2=0 →points[0]=1.
term1=1*(0*2+2-2)=1*(0+0)=0.
term2=prefix[2] -2*prefix[1] →(1+3) -2*1=4-2=2.
distance_left=0+2=2.
右边m=1，mid_r_local=0 →global_mid_r=2+0=2 →points[2]=5.
term1_r=5*(0*2+2-1)=5*(0+1)=5.
term2_r=prefix[2+1] -2*prefix[2+0+1] + prefix[2] →prefix[3]=9, prefix[3]=9 →9-2*9 +4=9-18+4=-5.
distance_right=5-5=0.
总距离2+0=2.
所以代码的min_total会取到2，正确。
另一个测试用例：输入n=5，points=[1,2,3,4,5]
可能的分割点k=2，左边[1,2]，右边[3,4,5].
distance_left：mid_left=0 →1*(0*2 +2-2)=0 →term2= (1+2) -2*1=3-2=1 →distance_left=0+1=1.
右边m=3，mid_r_local=1 →global_mid_r=2+1=3 →points[3]=4.
term1_r=4*(2*1+2-3)=4*(2+2-3)=4*1=4.
term2_r=prefix[2+3] -2*prefix[3+1] + prefix[2] →prefix[5]=1+2+3+4+5=15, prefix[4]=10 →15 -2*10 +3=15-20+3=-2.
distance_right=4-2=2. 总距离3。但实际手动计算右边总距离是：
到4的距离：3到4=1，4到4=0，5到4=1 →总和2。左边distance_left是1+0=1.总距离3。而其他分割点可能更优？
比如k=3，左边[1,2,3]，中位数是1 →distance_left= (1-1)+(2-1)+(3-1)=0+1+2=3. 右边两个点4,5，中位数是4 →distance_right=0+1=1.总距离4. 比之前的3大。所以总距离的最小是3？或者存在更优的分割？
比如k=2时总距离是3，而分割点k=3时的总距离是3+1=4。所以代码中的计算是否正确？
此时，代码中的分割点k=2时distance_left=1，distance_right=2 →总距离3.
另一个分割点k=4，左边4个元素，中位数是1.5的位置？按我们的代码，mid_left= (4-1)//2=1 →points[1]=2.
distance_left=2*(2*1 +2-4) + (prefix[4]-2*prefix[2]) →2*(2+2-4)=2*0=0 →term2= (1+2+3+4) -2*(1+2) →10-6=4 →distance_left=0+4=4.
右边m=1，distance_right=0.总距离4+0=4.
所以此时代码中的最小总距离是3？或者我哪里弄错了？
原问题中，当有两个邮局时，每个居民点选择最近的邮局。例如，对于分割点k=2，左边邮局在1，右边邮局在3（右边的中位数是3？或者原右边的数组是[3,4,5]，中位数是4？）。
哦，这里可能发现了问题。右边的数组是3,4,5，中位数是4。此时右边部分的总距离是 |3-4| + |4-4| + |5-4|=1+0+1=2，与代码计算结果一致。左边的总距离是1+0=1。总距离是3。而居民点到最近的邮局的距离总和应为：
居民点1和2去左边的邮局1，距离0和1。居民点3,4,5去右边的邮局4，距离1,0,1。总和0+1+1+0+1=3。这确实正确。
所以代码计算的正确。
综上，代码的逻辑正确。
现在，用户的问题是如何在直线上选择两个邮局的位置，使总距离之和最小。因此，这个代码应该可以解决问题。</think>为了解决在直线上选择两个邮局位置以最小化居民点到邮局的总距离之和的问题，可以采用以下算法：
### 算法思路
1. **排序居民点**：将居民点按坐标从小到大排序。
2. **前缀和预处理**：计算排序后的前缀和数组，用于快速计算区间和。
3. **枚举分割点**：遍历所有可能的分割点 $k$（将居民点分为前 $k$ 个和后 $n-k$ 个），分别计算左右两部分的总距离。
4. **中位数策略**：对左右两部分分别取中位数，计算总距离之和，并记录最小值。
### Python代码实现
```python
def minimal_total_distance():
import sys
n = int(sys.stdin.readline())
points = []
for _ in range(n):
x = int(sys.stdin.readline().strip())
points.append(x)
points.sort()
prefix = [0] * (n + 1)
for i in range(n):
prefix[i + 1] = prefix[i] + points[i]
min_total = float('inf')
for k in range(1, n):
# 计算左半部分的总距离
mid_left = (k - 1) // 2
term1_left = points[mid_left] * (2 * mid_left + 2 - k)
term2_left = prefix[k] - 2 * prefix[mid_left + 1]
distance_left = term1_left + term2_left
# 计算右半部分的总距离
m_right = n - k
mid_r_local = (m_right - 1) // 2
global_mid_r = k + mid_r_local
term1_right = points[global_mid_r] * (2 * mid_r_local + 2 - m_right)
term2_right = prefix[k + m_right] - 2 * prefix[global_mid_r + 1] + prefix[k]
distance_right = term1_right + term2_right
total = distance_left + distance_right
if total < min_total:
min_total = total
print(min_total)
if __name__ == "__main__":
minimal_total_distance()
```
### 算法分析
1. **时间复杂度**：排序的时间复杂度为 $O(n \log n)$，预处理前缀和和枚举分割点的时间复杂度为 $O(n)$，总时间复杂度为 $O(n \log n + n) = O(n \log n)$。
2. **空间复杂度**：前缀和数组占用 $O(n)$ 空间。
### 示例说明
假设输入居民点坐标为 `[1, 3, 5]`，排序后为 `[1, 3, 5]`。遍历所有分割点：
- 当 $k=1$ 时，左部分 `[1]` 的中位数为 `1`，右部分 `[3, 5]` 的中位数为 `3`，总距离为 $0 + (0 + 2) = 2$。
- 当 $k=2$ 时，左部分 `[1, 3]` 的中位数为 `1`，右部分 `[5]` 的中位数为 `5`，总距离为 $(0 + 2) + 0 = 2$。
最终输出最小总距离为 `2`。
### 相关问题
1. 如何将该算法推广到二维平面上的邮局选址问题？
2. 如果要求建立多个邮局（超过两个），应如何优化算法？
3. 如何验证该算法的最优性？
本文介绍了一种使用广度优先搜索(BFS)算法解决特定问题的方法。通过对每个房子进行BFS，计算出每个空格到该房子的最短距离，并将这些距离累加起来。这种方法可以有效地找出所有房子到最近设施的距离总和。
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