博弈

好难
加油！！！
一，巴什博弈：
所谓博弈，就是两人轮流进行决策，并且两人都使用最优策略来获取胜利。通俗的说就是两个人都想获得胜利，两个人都有头脑，并且不会失误。博弈的次数是有限的，两人遵循的规则是相同的。

有一堆石子，共有n块，两个人轮流取石子，每次至少取1块，最多取m个，最后取光者获胜（假设A，B两个人，规定A先操作）。

（1）当n=(m+1)*k时，(k为任意正整数)，当A先取石子时，A取X块石子，无论X为多少，B只要取（m+1-x），则B必胜，此时为A的必败态。

（2）当n=(m+1)*k+r(k,r为任意正整数，r不大于m)，此时A先取r块，那么B始终处在（m+1）*k的状态，由（1）可知，此时A一定赢，为A的必胜态。

通过以上就可以变形从而解决很多问题。。

例1：假设有一个箱子，可以装n个物品，每次最多可以装m个，最少可以装1个，A，B轮流操作，最后装满箱子的人获胜。

伪代码如下：

if(n%(m+1))

A获胜

else

B获胜

例2：

假设一堆有n个物品，每次最多取m个，最少取1个，最后取光者输（A先进行）

伪代码：

if((n-1)%(m+1)==0)

B 获胜

else

A获胜

看完基本原理刷几道水题吧，啊哈哈。。。
HDU1846 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1846
代码：http://paste.ubuntu.com/24365737/
二。尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
参考博客：http://blog.youkuaiyun.com/shuangde800/article/details/7443566
http://blog.sina.com.cn/s/blog_51cea4040100gz15.html
这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是
（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情
形。
计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2加的结
果：
1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 （+）
———————
0 =二进制00 （注意不进位）
对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。
任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。
如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）
b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c 变为a（+）b，只要从 c中减去 c-（a（+）b）即可。

例1。（14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，所以从39中拿走12个物体即可达

到奇异局势（14，21，27）。
例2。（55，81，121），55（+）81=102，121-102=19，所以从121中拿走19个物品
就形成了奇异局势（55，81，102）。
例3。（29，45，58），29（+）45=48，58-48=10，从58中拿走10个，变为（29，4
5，48）。
例4。我们来实际进行一盘比赛看看：
甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势
乙:(1,8,9)->(1,8,4)
甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势
乙:(1,5,4)->(1,4,4)
甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势
乙:(0,4,4)->(0,4,2)
甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势
乙:(0,2,2)->(0,2,1)
甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势
乙:(0,1,1)->(0,1,0)
甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势
甲胜。
当堆数多时，直接说结论比较好
对于某个局面(a1,a2,…,an)，若a1^a2^…^an!=0，一定存在某个合法的移动，将ai改变成ai’后满足a1^a2^…^ai’^…^an=0。不妨设a1^a2^…^an=k，则一定存在某个ai，它的二进制表示在k的最高位上是1（否则k的最高位那个1是怎么得到的）。这时ai^k

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