“常数变易法”有效的原理

最新推荐文章于 2024-12-15 11:58:27 发布

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常数变易法

文章是直接复制的我在优快云的markdown原文，部分排版可能不太合适，随后会改进

为什么写这篇文章

学过“常数变易法”的同学请直接点击“常数变易法的原理” 这里只讲述常数变易法的原理，为什么要用常数变易法请参见参考资料《常数变易法的解释》

在学习高数的过程中，关于为什么在解一阶线性微分方程的时候要使用常数变易法，为什么可以使用常数变易法，常数变易法为什么是有效并且正确的，老师都语焉不详，一笔带过，导致一直不能很好地理解其中的数学思想。自己也只能接受老师的解释，将这个方法强行合理化。

但是最近再次看到一阶线性微分方程的求解，看到直接给出来的求解公式一头雾水，再去翻书，始终还是感觉隔靴搔痒，雾里看花，始终不自在，所以上网搜索了一下，搜到了一篇相关文章（常数变易法的解释），终于明白了其中蕴含的深刻而巧妙的数学思想，喜不自禁。

所以在此记录下个人的理解，一则梳理自己的思路，二则可供感兴趣的同学参考，倘能有助于大家理解常数变易法的“自然”性，亦是幸甚。

什么是常数变易法？

有以下一阶线性微分方程： $y' +P(x)y=Q(x) \tag1$ 其中， $P(x)\not \equiv 0$ 且 $Q(x)\not \equiv 0$ 。

若解其对应的齐次方程： $y' +P(x)y=0\tag2$ 则易有： $y=Ce^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)$ 即为齐次方程的通解。

这时，我们可以用常数变易法来求非齐次方程 (1) 的通解，即将齐次方程 (2) 的通解中的常数换成（变易为）一个关于的未知函数 u(x) ，变易之后，非齐次方程通解表示如下：

$y=u(x)\cdot e^{-\int P(x)dx} \Big(u(x)\not\equiv 0\Big)\tag3$

于是将该通解形式代入原方程 (1) ，可以解得： $u(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C$ 将上式代入 (3) 式，即可解得： $y=e^{-\int P(x)dx}\cdot (\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$

这就是所谓常数变易法。可以看到，这里把常数直接代换为了函数 u(x) ，显得十分生硬不自然，没有什么说服力。然而书上很少会对这个方法的由来作出介绍，所以想必会使很多人感到困惑。

错误的理解

对于常数变易法，我以前的理解是：既然 $y=Ce^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)$ 可以使齐次方程 y' +P(x)y=0 成立，那么在其基础上增添一个函数，就应该使得该方程运算结果多出一个与自由项相关的余项 Q(x) ，所以可以使用常数变易法。这样的理解是基于表面形式做出的一个解释，然而还是不能够明确地说明这个方法的正当性与正确性。所以我们需要进一步探究其内在的原理。

常数变易法的原理

基本

容易理解，我们可以把任意函数表示成为两个函数之积，即 $y(x)=u(x)\cdot v(x)\tag4$ 对 y(x) 求导，得： y'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

计算

将 $y(x)=u(x)\cdot v(x)$ ， y'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) 代入非齐次方程 (1) ，整理得到： $u'(x)v(x)+u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]=Q(x)\tag5$ 由解一阶线性微分方程的常用方法分离变量法容易想到，如果没有 $u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]$ 这一项，我们就可以简便地利用分离变量法进行计算。现在单独考察 $u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]$ 这一项。其中 u(x) 不确定，不能用来保持 $u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]\not\equiv0$ ，所以考虑另一个因式。显然 v(x) 是不确定的，在 u(x) 不确定的情况下，可以任意取值。则假设 v(x) 满足 $v'(x)+P(x)v(x)\equiv0\tag6$ 观察式 (6) ，可以看到其形式与式 (2) 基本一致。求解式 (6) ，可以得其通解形式： $v(x)=C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)\tag7$ 将所得通解代入 (4) ，则 $y(x)=u(x)\cdot C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)\tag8$ 将 (8) 式代入 (5) 式，得到： $u'(x)\cdot C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}=Q(x)$ 使用分离变量法，容易解得： $u(x)=\frac1{C_1}\int Q(x)\cdot e^{\int P(x)dx}dx+C_2\tag9$ 将 (7) (9) 同时代入式 (4) ，则 $y(x)=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C_1C_2)$ 令 C=C_1C_2 ，则得原一阶线性微分方程的通解为： $y(x)=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$

总结

很显然我们可以看到，常数变易法是蕴含了很深刻的数学思想、具有很强健的数学基础的解题方法，并非无根之萍，更不是突发奇想或是强行合理。但是从其原理上来讲，将其称呼为“常数变易法”是不太妥当的，本质上它并非是单纯地使用一个函数来替代了齐次方程通解的常数。 常数变易法的称呼应该说为了便于日常应用和直观记忆，这里可以不必纠结。