[HihoCoder1378]网络流二·最大流最小割定理

最新推荐文章于 2020-08-24 18:17:02 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/skylee03/p/7250751.html

本文详细介绍了如何使用Edmonds-Karp算法求解最大流问题，并通过最小割定理找到最小割集。针对流网络中的有向图特性，提出了一种基于深度优先搜索(DFS)的方法来确定最小割切割后的源点集合。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

思路：

根据最大流最小割定理可得最大流与最小割相等，所以可以先跑一遍EdmondsKarp算法。
接下来要求的是经过最小割切割后的图中$S$所属的点集。
本来的思路是用并查集处理所有前向边构成的残量网络，如果当前边的残量不为零，则合并两个端点。
然而这样子会WA，因为这只适用于无向图的情况，而流网络属于有向图。
解决的方法是用一个DFS，处理出所有从$S$出发可到达的点，如果边的残量为零则说明当前边不可用。

 1 #include<set>
 2 #include<queue>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cctype>
 5 #include<vector>
 6 #include<cstring>
 7 inline int getint() {
 8     char ch;
 9     while(!isdigit(ch=getchar()));
10     int x=ch^'0';
11     while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
12     return x;
13 }
14 const int N=501,M=20000,inf=0x7fffffff;
15 struct Edge {
16     int from,to,remain;
17 };
18 Edge e[M<<1];
19 std::vector<int> g[N];
20 int sz=0;
21 inline void add_edge(const int u,const int v,const int w) {
22     e[sz]=(Edge){u,v,w};
23     g[u].push_back(sz);
24     sz++;
25 }
26 int n,m,s,t;
27 int a[N],p[N];
28 inline int Augment() {
29     memset(a,0,sizeof a);
30     a[s]=inf;
31     std::queue<int> q;
32     q.push(s);
33     while(!q.empty()&&!a[t]) {
34         int x=q.front();
35         q.pop();
36         for(unsigned i=0;i<g[x].size();i++) {
37             Edge &y=e[g[x][i]];
38             if(!a[y.to]&&y.remain) {
39                 p[y.to]=g[x][i];
40                 a[y.to]=std::min(a[x],y.remain);
41                 q.push(y.to);
42             }
43         }
44     }
45     return a[t];
46 }
47 inline int EdmondsKarp() {
48     int maxflow=0;
49     while(int flow=Augment()) {
50         for(int i=t;i!=s;i=e[p[i]].from) {
51             e[p[i]].remain-=flow;
52             e[p[i]^1].remain+=flow;
53         }
54         maxflow+=flow;
55     }
56     return maxflow;
57 }
58 bool v[N]={0};
59 std::vector<int> ans;
60 inline void FindSet(const int x) {
61     v[x]=true;
62     ans.push_back(x);
63     for(unsigned int i=0;i<g[x].size();i++) {
64         if((g[x][i]&1)||v[e[g[x][i]].to]||!e[g[x][i]].remain) continue;
65         FindSet(e[g[x][i]].to);
66     }
67 }
68 int main() {
69     n=getint(),m=getint();
70     s=1,t=n;
71     while(m--) {
72         int u=getint(),v=getint(),w=getint();
73         add_edge(u,v,w);
74         add_edge(v,u,0);
75     }
76     printf("%d ",EdmondsKarp());
77     FindSet(s);
78     printf("%u\n",ans.size());
79     for(unsigned int i=0;i<ans.size()-1;i++) {
80         printf("%d ",ans[i]);
81     }
82     printf("%d\n",ans.back());
83     return 0;
84 }

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