ACM解题总结——HihoCoder1138

最新推荐文章于 2022-03-03 16:54:12 发布

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最新推荐文章于 2022-03-03 16:54:12 发布 · 1.2k 阅读

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这篇博客详细总结了作者在解决ACM题目HihoCoder1138时的经验，通过排序方法确定图中各点在x轴和y轴上最近的点。博客内容包含具体的距离计算策略和程序代码实现，适用于对算法和图论感兴趣的读者。

题目来源：

HihoCoder 1138
题目要求：
给定N个小岛的坐标序列：(x1, y2), (x2, y2)...(xN, yN),从(x1, y1)到（xN,yN)之间的最短距离。齐总：两个小岛（xi,yi)和(xj,yj)之间的距离由下面的式子定义：
d(i,j) = min{|xi - xj|, |yi-yj|}
即：两个小岛的距离是他们横坐标和纵坐标差值的较小者。

解答：
这个题目思路还是比较简单的，主要采用dijkstra算法求最短路径。但是，依照题目的描述，任意两个小岛都是可达的，即图中每个点都有N-1条边和其他的点相连。dijkstra算法的时间复杂度是O(n²)。这样的时间复杂度在运行本题的测试数据时会超时。因此需要对算法进行一定的优化，优化方法如下：

·图优化：

通过对图中的N个点进行排序，可以得到每个点在x方向和y方向上的距离最近的点，如下图：

通过寻找x前驱、x后继、y前驱、y后继，可以为每一个点找到4个距离最近的点。而对于起点s，它到终点e的最短路径一定会至少包含s的4个最近点中的1个。这个结论可以用反证法证明，如下：
假设存在一条从s到e的最短路径L = (s, m1, m2, ..., mk, e)不包含任意一个s的最邻近点，则考虑边子路径(s, m1)的长度：
d(s, m1) = min{|s_x - m1_x|, |s_y, m1_y|}
由于m1不是s的最邻近点，所以点s到点m1之间一定存在一个s的最邻近点m0，
    以下分两种情况考虑：
    (1) 如果d(s, m1) = |d_x - m1_x|,那么点m0一定是s在横轴x方向上的最邻近点，并且m0_x一定介于s_x和m1_x之间，因此：
      |s_x - m1_x| = |s_x - m0_x| + |m0_x - m1_x|

如下图所示：