[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.5

最新推荐文章于 2025-06-28 22:38:19 发布
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原文链接：https://yq.aliyun.com/articles/302099
本文提供了一个积分计算的例子，展示了如何利用三角恒等变换简化积分过程，最终得出简洁的积分结果。

需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html 

 

计算 $\dps{\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sin (2k-1)x}{\sin x}\rd x}$.

解答: $$\bex \mbox{原积分}=\int_0^\frac{\pi}{2} \sex{1+2\sum_{i=1}^{k-1} \cos 2ix}\rd x=\frac{\pi}{2}. \eex$$

裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》 P1~31
qq_45481282的博客
07-05 2486
裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》 第1天:1~31 第1章 一元函数极限 函数 关于反函数 只要是有f゜f⁻¹()，结果都为括号里的值 复合函数的反函数公式 奇函数、偶函数 整体的思想和反函数中第1条的思想。 例1.1.4任意对称区间上的任意函数总可以表示成一个偶函数与一个积函数的和，而且此表示方法唯一Important. 周期函数 不是所有周期函数一定存在最小正周期。狄利克雷函数。 连续的周期函数必有最小正周期。 例1.1.5周期函数内部
裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》P31~60
qq_45481282的博客
07-07 2343
裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》 第2天31~60 第1章 一元函数极限 3.求极限值的若干方法 利用等价代换和初等变形求极限。 等价代换。 先求出可以求出来的值。 根号内最好转变为一个常数和一个分式的和。 等价无穷小代换。 注意只有在x出现的时候才可以用，如果是常数不能用等价无穷小代换，比如说1.3.1的第4问。efx-eb不能等价代换成efx-1-eb+1因为必是常数，所以不能够这样等价无穷小代换。应该以整体的思想，然后进行等价无穷小代换。 等价代换原理，源于分
数学分析中的典型问题与方法 有提示版 高清版裴礼文.pdf
05-27
数学分析中的典型问题与方法 有提示版 高清版裴礼文.pdf
裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》
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06-28 1047
裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.18
weixin_33795093的博客
05-16 471
设 $f(x)$ 是在 $(-\infty,+\infty)$ 内的可微函数, 且满足:   (1). $f(x)>0$;   (2). $|f'(x)|\leq m|f(x)|$, 其中 $0<m<1$. 任取 $a_0$, 定义 $a_n=\ln f(a_{n-1})$, $n=1,2,\cdots$. 证明: 级数 $\dps{\vsm{n}(a_n-a_{n-1}...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.16
weixin_33806300的博客
05-13 201
设 $f(x)$ 于 $[1,\infty)$ 上可导, $f'(x)$ 单调递增, 且 $f(x)\to A$ (当 $x\to\infty$), 证明: $\dps{\vsm{n}f'(n)}$ 收敛.   证明: 由 $$\bex f(n+1)-f(n)=f'(\xi_n)\geq f'(n)\quad\sex{n<\xi_n<n+1}, \eex$$ $$\bex \vsm...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.21
weixin_34104341的博客
05-16 309
设数 $a>0$, $\sed{p_n}$ 是一个数列, 并且 $p_n>0$, $p_{n+1}\geq p_n$. 证明: 级数 $$\bex \vsm{n}\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a} \eex$$ 收敛. (国外赛题)   证明: 由 $p_{n+1}\geq p_n$ 知   (1). $\dps{\vlm{n}p_n=p>0...
裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》第三版课后习题留白
04-24
裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》第三版课后习题留白
数学分析中的典型问题与方法(裴礼文）
06-24
### 数学分析中的典型问题与方法(裴礼文) #### 核心知识点概览 - **数学分析**：数学的一个分支领域，主要研究实数、复数及其函数、极限、连续性、导数、积分等内容。 - **典型问题**：在数学分析中，常见的难题与...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.11
weixin_34144450的博客
05-13 299
证明: 若 $a_n>0$, $a_n\searrow 0$, 则 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 与 $\dps{\vsm{m}p_m2^{-m}}$ ($p_m=\max\sed{n;a_n\geq 2^{-m}}$) 同时敛散. (Lobachevsky 判别法)   证明: 由 $$\beex \bea \sum_{k=1}^m p_k2^{-k} &=\sum_{...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.21
weixin_33754065的博客
05-26 280
设 $f(x)$ 的一阶导数在 $[0,1]$ 上连续, 且 $f(0)=f(1)=0$, 求证: $\dps{\sev{\int_0^1 f(x)\rd x}\leq \frac{1}{4}\max_{0\leq x\leq 1}|f'(x)|}$. (清华大学)   证明: 设 $\dps{M=\max_{[0,1]}|f'|}$, 则 $$\beex \bea \sev{\int_0^1...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.28
weixin_34289454的博客
05-16 609
设 $k>0$, $a>0$. 证明:   (1). $\dps{\int_a^\infty \frac{\sin 2n\pi x\rd x}{x^k}}$ 收敛;   (2). $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n}\int_a^\infty \frac{\sin 2n\pi x\rd x}{x^k}}$ 收敛.   证明:   (1). 由 Dirichl...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.22
weixin_34082854的博客
05-16 181
举出一个收敛级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 的例子, 使级数 $\dps{\vsm{n}a_n\ln n}$ 发散.   解答: 取 $\dps{a_n=\frac{1}{n\ln n\ln^2\ln n}}$, 则由 $$\bex \int_{e^e}^\infty \frac{1}{x\ln x\ln^2\ln x}\rd x =\int_1^\infty \frac{1}{y...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.23
weixin_34250709的博客
05-16 250
序列 $\sed{b_n}\ (n=1,2,\cdots)$ 具有下列性质: $$\bex b_n>0,\quad \vlm{n}b_n=+\infty. \eex$$ 做出序列 $\sed{a_n}$, 使 $$\bex a_n\geq 0,\quad \vsm{n}a_n<\infty,\quad \vsm{n}a_nb_n=+\infty. \eex$$ (国外赛题)   解...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.9
weixin_33690963的博客
05-11 238
设 $f(x)$ 为连续实值函数, 对所有 $x$, 有 $f(x)\geq 0$, 且 $\dps{\int_0^\infty f(x)\rd x<+\infty}$, 求证: $$\bex \frac{1}{n}\int_0^n xf(x)\rd x\to 0\quad\sex{n\to\infty}. \eex$$ (中国科学院)   证明: 由 Cauchy 收敛原理知 $$\b...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.24
weixin_34256074的博客
05-16 237
设 $\sed{n_k}$ 是自然数列 $\sed{n}$ 的子序列, 试证:   (1). 当 $n_k-n_{k-1}\geq 1$ 时, $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n_k}}$ 收敛;   (2). 当 $n_k-n_{k-1}\leq g$ (常数) 时, $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n_k}}$ 发散;   (3). 当 $n_k-n_{k-...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.4
weixin_33800593的博客
05-12 192
证明: 当 $p\geq1$ 时, $$\bex \vsm{n}\frac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}}<p. \eex$$ (国外赛题) 证明: 通项 $$\beex \bea a_n&=\frac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}} =\frac{n}{\sqrt[p]{n}}\cdot \frac{1}{n(n+...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.4.2
weixin_33720452的博客
05-10 222
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可微, $f(a)=0$. 试证: $$\bex M^2\leq (b-a)\int_a^b f'^2(x)\rd x, \eex$$ 其中 $\dps{M=\sup_{a\leq x\leq b}|f(x)|}$. 证明: $$\beex \bea M^2&amp;=|f(\xi)|^2\quad\sex{\xi\in [a,b]}\\ &amp;=...
典型方法_裴礼文老师编数学分析中的典型问题与方法练习参考答案的说明
06-08
该书介绍了数学分析中的典型问题和方法，并提供了大量的练习题和参考答案。在参考答案中，作者详细解释了每个问题的解题思路和步骤，并提供了详细的计算过程和图示。 这本教材的主要特点是强调问题的典型性和方法的...
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