本文深入解析二叉搜索树的基本概念、性质及关键算法，包括查找、插入、删除等操作的具体实现，同时提供了完整的代码示例。
定义
它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：
- 若左子树不空。则左子树上全部节点的值均小于它的根节点的值；
- 若右子树不空。则右子树上全部节点的值均大于它的根节点的值；
- 左、右子树也分别为二叉搜索树。
性质
- 因为节点是有序排放的：左子树<根节点<右子树。
故在查找一个节点的时候。仅仅需先和根节点比較，再决定是进入左子树还是右子树查找。而普通二叉树须要一个一个地遍历。
- 查找、插入的时间复杂度是O(h)，h是树的高度。即当树的高度尽量低(比較平衡)时，效率高。
算法解释
以下对代码中给出的部分算法进行解释，便于阅读。
- 构造方法：BinarySearchTree();建树的过程就是一个插入的过程。所以插入操作是重要的。
- 求叶子节点数：int leaf();按某种方式遍历树，若左右孩子皆为空。即为叶子节点。代码中是按中序遍历的。
- 查找指定节点：bool search(ElemType);依据二叉搜索树节点的分布特点，查找仅仅需在左或右子树中进行。而且插入树中已有的节点也算插入失败。插入操作逻辑比較清楚，代码易看懂。
- 获取指定节点的前驱：BTNode* predecessor(ElemType);这个操作在普通二叉树中是没有的。在二叉搜索树中，某节点的前驱指的是中序遍历时的前驱。故该操作本质上是一个中序遍历的过程。
略微不同的是，在遍历的过程中须要记录近期一次遍历的节点plastVisit，并推断当前訪问的节点是否是指定节点。若是，则返回
plastVisit。 - 获取后继和获取前驱的道理是一样的。
- 获取最小节点：BTNode* minimum();二叉搜索树中的最小节点一定是位于左子树(假设存在)。
于是，不断遍历左子树就可以。比較简单。
- 获取最大节点：BTNode* maximum();二叉搜索树中的最大节点一定是位于右子树(假设存在)。于是，不断遍历右子树就可以，比較简单。
- 插入节点：bool insertNode(ElemType);插入的过程本质上也是查找，须要记住的是：新节点会插入到叶子节点处。
- 遍历：void traverse();二叉搜索树的遍历能够是多样的，各种遍历方式也在上一篇二叉树中实现了，这里仅仅给出中序遍历。由于，对一棵二叉搜索树进行中序遍历会得到节点从小到大的排序序列。
- 删除节点：bool deleteNode(ElemType);删除的规则是这种：
- 若待删节点无左子树，则用其右子树的根节点替换它。
- 若待删节点有左子树，则在左子树中寻找中序遍历的最后一个节点，用该节点替换它。
这也是全部操作中最复杂的。绘图理解：
详细细节还得看代码，代码较长，建议以方法为单位来理解。
代码
类定义
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
typedef int ElemType;
//二叉树节点
class BTNode //Binary Tree Node
{
public:
ElemType data;
BTNode* lchild; //左孩子
BTNode* rchild; //右孩子
BTNode(ElemType d, BTNode* left = NULL, BTNode* right = NULL)
:data(d), lchild(left), rchild(right){}
};
//二叉搜索树
class BinarySearchTree
{
private:
//树根
BTNode* Root;
//节点总数
int size;
public:
//构造方法
BinarySearchTree();
//析构方法
~BinarySearchTree();
//推断树空
bool empty()
{return Root == NULL;}
//求节点总数
int getSize()
{return size;}
//求叶子节点数
int leaf();
//查找
bool search(ElemType);
//获取父节点
BTNode* parent(ElemType);
//获取前驱
BTNode* predecessor(ElemType);
//获取后继
BTNode* successor(ElemType);
//获取最小节点
BTNode* minimum();
//获取最大节点
BTNode* maximum();
//插入新节点
bool insertNode(ElemType);
//删除节点
bool deleteNode(ElemType);
//中序遍历
void traverse()
{inOrderWithoutRecursion();}
void inOrderWithoutRecursion();
};类实现
//构造方法
BinarySearchTree::BinarySearchTree()
{
size = 0;
Root = NULL;
ElemType data;
cout << "建树，输入节点，输入0结束：";
while (cin >> data && data)
insertNode(data);
}
//析构方法
BinarySearchTree::~BinarySearchTree()
{
if (!empty())
{
queue<BTNode*> q;
q.push(Root);
BTNode* p = NULL;
while (!q.empty())
{
p = q.front();
q.pop();
//左孩子不为空。则左孩子入队
if (p->lchild)
q.push(p->lchild);
//右孩子不为空。则右孩子入队
if (p->rchild)
q.push(p->rchild);
//释放内存
delete p;
}
}
}
//求叶子节点数
int BinarySearchTree::leaf()
{
int num = 0;
//按中序遍历
if (!empty())
{
stack<BTNode*> s;
BTNode* p = Root;
while (!s.empty() || p)
{
if (p)
{
s.push(p);
p = p->lchild;
}
else
{
p = s.top();
s.pop();
//左右子树均为空，则为叶子节点
if (p->lchild == NULL && p->rchild == NULL)
num++;
p = p->rchild;
}
}
}
return num;
}
//查找
bool BinarySearchTree::search(ElemType data)
{
if (!empty())
{
BTNode* p = Root;
while (p)
{
if (data == p->data)
return true;
else if (data < p->data)
p = p->lchild;
else
p = p->rchild;
}
}
//树空或查找失败
return false;
}
BTNode* BinarySearchTree::parent(ElemType data)
{
if (!empty())
{
//根节点的父节点为空
if (Root->data == data)
return NULL;
stack<BTNode*> s;
BTNode* p = Root;
while (!s.empty() || p)
{
if (p)
{
s.push(p);
p = p->lchild;
}
else
{//左子树訪问完后，訪问右子树
p = s.top();
s.pop();
if ((p->lchild && p->lchild->data == data) || (p->rchild && p->rchild->data == data))
return p;
p = p->rchild;
}
}
}
return NULL;
}
//获取前驱
BTNode* BinarySearchTree::predecessor(ElemType data)
{
BTNode* pcur, *plastVisit;
pcur = plastVisit = NULL;
if (!empty())
{
stack<BTNode*> s;
pcur = Root;
while (!s.empty() || pcur)
{
if (pcur)
{
//plastVisit = pcur;
s.push(pcur);
pcur = pcur->lchild;
}
else
{
pcur = s.top();
s.pop();
if (pcur->data == data)
return plastVisit;
else
plastVisit = pcur;
pcur = pcur->rchild;
}
}
}
return plastVisit;
}
//获取后继
BTNode* BinarySearchTree::successor(ElemType data)
{
BTNode* pcur = NULL;
pcur = Root;
if (!empty())
{
stack<BTNode*> s;
while (!s.empty() || pcur)
{
if (pcur)
{
s.push(pcur);
pcur = pcur->lchild;
}
else
{
pcur = s.top();
s.pop();
if (pcur->data == data)
return pcur->rchild;
pcur = pcur->rchild;
}
}
}
//空树
return NULL;
}
//获取最小节点
BTNode* BinarySearchTree::minimum()
{
//最小节点在左子树最下边
if (!empty())
{
BTNode* p = Root;
while (p->lchild)
p = p->lchild;
return p;
}
//树空
return NULL;
}
//获取最大节点
BTNode* BinarySearchTree::maximum()
{
//最大节点在右子树最下边
if (!empty())
{
BTNode* p = Root;
while (p->rchild)
p = p->rchild;
return p;
}
//树空
return NULL;
}
//插入新节点
bool BinarySearchTree::insertNode(ElemType data)
{
/*
新节点都会被插入到叶子处
插入一般不会失败，除非是插入了反复节点。
*/
if (Root == NULL)
{
Root = new BTNode(data);
size++;
return true;
}
else
{
BTNode* p = Root;
while (true)
{
if (data < p->data)
{
//假设有左子树。则继续遍历左子树
if (p->lchild)
p = p->lchild;
else
{//否则，插入节点，下同
p->lchild = new BTNode(data);
break;
}
}
else if (data > p->data)
{
if (p->rchild)
p = p->rchild;
else
{
p->rchild = new BTNode(data);
break;
}
}
else//遇到反复节点
return false;
}
//插入新节点成功，节点总数加一
size++;
return true;
}
}
//删除节点
bool BinarySearchTree::deleteNode(ElemType data)
{
/*
删除规则
1.若待删节点无左子树，则用其右子树的根节点替换它。2.若待删节点有左子树，则在左子树中寻找中序遍历的最后一个节点，用该节点替换它。
*/ if (!empty()) { //树中无此节点。删除失败 if (!search(data)) return false; /* p:待删结点 Parent:待删除节点的父节点 temp:替换节点 tempp:替换节点的父节点 */ BTNode* p, *Parent, *temp, *tempp; p = Parent = temp = tempp = NULL; //获取待删除节点的父节点 Parent = parent(data); //依据父节点。确定待删结点 if (Parent->lchild && Parent->lchild->data == data) p = Parent->lchild; else p = Parent->rchild; //假设左子树不为空，查找当中序遍历的最后一个节点 if (p->lchild) { temp = p->lchild; while (temp->rchild) { tempp = temp; //不断遍历右子树 temp = temp->rchild; } //假设p的左孩子即是替换节点 if (tempp == NULL) p->lchild = temp->lchild; else//替换节点的左子树作为其父节点的右子树(这句难以理解，须要多想想) tempp->rchild = temp->lchild; //替换节点继承待删结点的左右孩子 temp->lchild = p->lchild; temp->rchild = p->rchild; } else temp = p->rchild; //替换节点替换掉待删结点(这也是为什么须要找到待删结点的父节点) if (Parent == NULL) //待删结点恰为根节点 Root = temp; else if (Parent->lchild == p) //待删结点本身处于左子树 Parent->lchild = temp; else//待删结点本身处于右子树 Parent->rchild = temp; //删除待删结点 delete p; //节点总数减一 size--; return true; } //树空 return false; } //中序遍历 void BinarySearchTree::inOrderWithoutRecursion() { if (!empty()) { stack<BTNode*> s; BTNode* p = Root; while (!s.empty() || p) { if (p) { s.push(p); p = p->lchild; } else { p = s.top(); s.pop(); cout << setw(4) << p->data; p = p->rchild; } } cout << endl; } }
主函数
int main()
{
cout << "******二叉搜索树***by David***" << endl;
BinarySearchTree tree;
cout << "中序遍历" << endl;
tree.traverse();
cout << "树中节点总数 " << tree.getSize() << endl;
cout << "叶子节点数 " << tree.leaf() << endl;
BTNode* p = NULL;
p = tree.minimum();
p ? cout << "最小节点是 " << p->data << endl : cout << "树空。" << endl;
p = tree.maximum();
p ? cout << "最大节点是 " << p->data << endl : cout << "树空。" << endl;
ElemType data = 2;
cout << endl << "查找节点 " << data << endl;
if (tree.search(data))
{
cout << "节点 " << data << " 查找成功！" << endl; p = tree.predecessor(data); p ?
cout << "节点 " << data << " 的前驱是 " << p->data << endl : cout << "无前驱！" << endl; p = tree.successor(data); p ? cout << "节点 " << data << " 的后继是 " << p->data << endl : cout << "无后继！" << endl; } else cout << "节点 " << data << "不在树中！" << endl; data = 6; cout << endl <<"删除节点 " << data << endl; if (tree.deleteNode(data)) { cout << "删除成功！" << endl; cout << "中序遍历" << endl; tree.traverse(); cout << "树中节点总数 " << tree.getSize() << endl; cout << "叶子节点数 " << tree.leaf() << endl; data = 5; cout << endl << "查找节点 " << data << endl; if (tree.search(data)) { cout << "节点 " << data << " 查找成功！
" << endl; p = tree.predecessor(data); p ? cout << "节点 " << data << " 的前驱是 " << p->data << endl : cout << "无前驱！" << endl; p = tree.successor(data); p ? cout << "节点 " << data << " 的后继是 " << p->data << endl : cout << "无后继！" << endl; } else cout << "节点 " << data << "不在树中！" << endl; } else cout << "删除失败！" << endl; cout << endl; system("pause"); return 0; }
执行
算法优化
//插入新节点
bool BinarySearchTree::insertNode(ElemType data)
{
BTNode *parent, *child;
parent = NULL;
child = Root;
while (child)
{
parent = child;
if (data < child->data)
child = child->lchild;
else if (data > child->data)
child = child->rchild;
else//插入同样keyword的节点。返回false
return false;
}
//此时parent要么为空，要么就是叶子节点
if (parent == NULL)//空树
Root = new BTNode(data);
else if (data < parent->data)
parent->lchild = new BTNode(data);
else
parent->rchild = new BTNode(data);
size++;
return true;
}专栏文件夹：
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