最小生成树

最新推荐文章于 2021-05-22 21:42:34 发布

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本文详细介绍了两种经典的最小生成树算法——Prim算法和Kruskal算法。Prim算法使用蓝白点思想，通过不断将最接近当前生成树的顶点加入来构建最小生成树，时间复杂度为O(n²)。Kruskal算法则采用加边法，通过排序后的边依次尝试加入生成树中，避免形成环路，时间复杂度为O(eloge)。

最小生成树

Prim

时间复杂度O(n²)

蓝白点思想，蓝点代表为纳入最小生成树的点，白点代表已纳入的点。

初始化所有点到最小生成树的距离；（极大值）

选择一个点作为树的根节点；（没有要求的话，一般选择第一个点）

枚举该点出发的所有边，进行松弛操作，并将该点标为白色；

从蓝点中选取离最小生成树最近的点进行松弛操作，并加入最小生成树；

如此循环，直到所有点都加入最小生成树；

例题：【模板】最小生成树

算法结束。

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int inf=100000000; int n,ans,p,b; int a[110],map[110][110]; bool v[110]; int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&map[i][j]); for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=map[1][i]; v[1]=1; for(int i=1;i<n;i++){ p=inf; for(int i=1;i<=n;i++) if(!v[i]&&a[i]<p){p=a[i];b=i;} ans+=a[b];v[b]=1; for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=min(a[i],map[b][i]); } printf("%d\n",ans); return 0; }

Kruskal

时间复杂度O(eloge)

加边法。

首先，对所有边进行排序，时间复杂度O(eloge)；

从小到大枚举边，如果边的两端已经处于同一个集合，加入该边，否则不加入。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;  4 int n,m,a,b,ans;  5 int fa[5010];  6 struct nate{  7 int q,z,bq;  8 }edge[200010];  9 int comp(const nate&x,const nate&y ){return x.bq<y.bq;} 10 int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);} 11 int main(){ 12 scanf("%d%d",&n,&m); 13 for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&edge[i].q,&edge[i].z,&edge[i].bq); 14 sort(edge+1,edge+m+1,comp); 15 for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; 16 for(int i=1;i<=m;i++){ 17 a=find(edge[i].q);b=find(edge[i].z); 18 if(a!=b){ 19 ans+=edge[i].bq; 20 fa[b]=a; 21  } 22  } 23 printf("%d\n",ans); 24 return 0; 25 }

从时间复杂度来看，两种算法各有优劣，不过在OI中，一般的图都是点多边少，所以Kruskal可能更常用一些；

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