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最新推荐文章于 2020-03-07 16:47:35 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/scau20110726/archive/2013/02/23/2923545.html

本文介绍了一个关于在圆上进行特定条件下的连线问题，并通过递推的方法利用卡特兰数解决该问题。文章给出了详细的解析过程及C++实现代码。

递推，卡特兰数

题意：输入n，表示圆上有n对点也就是2n个点，每个点要与另一个点且只能与一个点相连，用直线将两点相连，那么会产生n条线，但要求这n条线不能出现相交的情况，问有多少种连接方案

这个问题并不难，首先我们固定一个点，让它与另外的任意一个点连接，那么这个圆将被分成两份，我们暂且把这条线称为分界线，而两边各有一些点。我们可以很容易的发现，如果一边的点的个数为奇数，那么这一边无论怎么连，都必将剩下一个点没有被连接，这个点一定要越过分界线，也就是一个会出现相交。由于一边是奇数个点，另一边也肯定是奇数个点，会出现相同的情况

所以我们得到一个策略，分界线不能随便选，它一定要保证两边的点的个数均是偶数。

然后我们来看n=4的例子，固定一个点，让它发射出分界线，看有多少在种情况

1.左边有0对点，右边有3对点，所以可能的方案是dp[0]*dp[3]

2.左边有1对点，右边有2对点，所以可能的方案是dp[1]*dp[2]

3.左边有2对点，右边有1对点，所以可能的方案是dp[2]*dp[1]

4.左边有3对点，右边有0对点，所以可能的方案是dp[3]*dp[0]

把这4个方案数加起来即为答案

仔细一看dp[4]的公式发现，这不就是卡特兰数的递推公式吗，没错打的就是这样

而这题的n=10，不需要高精度，一推即可

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAX 10

int dp[MAX+10];

void init()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0]=dp[1]=1; dp[2]=2;
    for(int n=3; n<=MAX; n++)
        for(int i=0; i<=n-1; i++)
            dp[n]+=(dp[i]*dp[n-1-i]);
}

int main()
{
    init();
    int n,t=0;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        if(t++) printf("\n");
        printf("%d\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/scau20110726/archive/2013/02/23/2923545.html