将n个相同小球分成不同k组的不同分法

最新推荐文章于 2024-11-22 20:06:10 发布

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这篇博客探讨了当有n个不可区分的小球要分成k个可区分组时的不同分法。允许空组时，问题转化为组合问题，答案是C(n + k - 1, n)或C(n + k - 1, k - 1)；不允许空组时，通过转换不定方程，答案变为C(n - 1, n - k)或C(n - 1, k - 1)。" 109065238,7458879,CSS vertical-align属性值详解及示例,"['CSS', '前端开发']

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假设有n个不可区分的小球，将它们分成k个可区分的组。如果：

（1）允许存在空组（该组小球数为0）
（2）不允许存在空组

问有多少种分法。

（1）如果允许存在空组，那么原问题等价于：给你n个0和k-1个1，你要用它们来组成一个长度为(n+k-1)的串，问有多少种不同的串？
为了得到一个这样的串，我们只要从 (n+k-1) 个位置中选出n个位置用来放0，剩下的用来放1，任务就完成了。

所以，这个问题的答案是：C(n + k - 1, n) 或者 C(n + k - 1, k - 1)

同时，该问题也等价于：
已知 x1 + x2 + ... + xk = n，其中 xi为整数，且xi >= 0, i = 1,2,3,...,k （#1）
求该不定方程的不同的解的数目

(2) 如果不允许存在空组，原问题等价于：
已知 x1 + x2 + ... + xk =n，其中 xi为整数，且xi >= 1