每天一道博弈论之“巴什博弈”

   由于明天开学，不一定有时间写博客，故今天一次写两道题qaq

q1:

   题意：

   一堆n个石子，可以取1,2,3...m个，双方轮流取，给你n和m，问先手胜还是后手胜

  题解：

   易得当n%（m+1）==0时后手必胜，否则先手胜。假如对方取x个，你就取（m+1-x）个，使得对手面对的数一直是（m+1）的倍数，当最终对手面对m+1时，显然他已经输了。

 

q2:

  题意：

   一堆n个石子，可以取1,2,4,8...（2的次幂）个，给你n，问先手胜还是后手胜

  题解：

   首先我们可以考虑根据SG函数，可以在O（nlogn）的复杂度内算出答案。这种做法大概可以解决n<=10^5的数据。那么n很大怎么办呢？有没有O（1）的做法呢？

   当然有啦^_^

   请考虑上面一题中用到的技巧。我们可以发现2的次幂在mod3的意义下只可能是1或者2（没有0），所以我们猜想是不是n为3的倍数时后手必胜呢？

   我们假设对手拿到n为3的倍数，且对手拿完之后剩余大于3（因为剩下1或2你就赢了，而对手不可能拿掉3的倍数），那么你一定可以通过拿掉1或者2使之变为3的倍数。那么对手一定会面临面前数字为3的窘境，这时他已经黔驴技穷了。

   综上，n为3的倍数时后手胜，否则先手胜。

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