本文探讨了当参数$s>0$时特定积分的收敛性，并进一步证明了当$s>1$时该积分可以表示为一个简洁的级数形式。通过不等式的运用和对积分的分解，给出了详细的证明过程。
(1). 求证: 当 $s>0$ 时, $\dps{\int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x}$ 收敛;
(2). 求证: 当 $s>1$ 时, $$\bex \int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}\vsm{n}\frac{1}{n^s}. \eex$$
证明:
(1). $$\bex \int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x <\int_1^\infty \frac{1}{x^{s+1}}\rd x<\infty. \eex$$
(2). 当 $s>1$ 时, 由 5.1.25 知 $$\bex \int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x =\int_1^\infty \frac{1}{x^s}\rd x -\int_1^\infty \frac{[x]}{x^{s+1}}\rd x=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}\vsm{n}\frac{1}{n^s}. \eex$$
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