[数学]虚数的意义

本文通过直观的方式解释了虚数的概念,即虚数实际上代表的是旋转操作,并非传统意义上的数值。文章进一步介绍了如何使用虚数进行加法和乘法运算,以解决实际问题中的旋转角度变化,如力的合成与方向调整。

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有人在Stack Exchange问了一个问题:

  "我一直觉得虚数(imaginary number)很难懂。

  中学老师说,虚数就是-1的平方根。

  chart?cht=tx&chl=i%3D%5Csqrt%7B-1%7D&chs=80

  可是,什么数的平方等于-1呢?计算器直接显示出错!

  直到今天,我也没有搞懂。谁能解释,虚数到底是什么?

  它有什么用?"

帖子的下面,很多人给出了自己的解释,还推荐了一篇非常棒的文章《虚数的图解》。我读后恍然大悟,醍醐灌顶,原来虚数这么简单,一点也不奇怪和难懂!

下面,我就用自己的语言,讲述我所理解的虚数。

一、什么是虚数?

首先,假设有一根数轴,上面有两个反向的点:+1和-1。

bg2012092401.png

这根数轴的正向部分,可以绕原点旋转。显然,逆时针旋转180度,+1就会变成-1。

bg2012092402.png

这相当于两次逆时针旋转90度。

bg2012092403.png

因此,我们可以得到下面的关系式:

  (+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)

如果把+1消去,这个式子就变为:

  (逆时针旋转90度)^2 = (-1)

将"逆时针旋转90度"记为 i :

  i^2 = (-1)

这个式子很眼熟,它就是虚数的定义公式。

所以,我们可以知道,虚数 i 就是逆时针旋转90度,i 不是一个数,而是一个旋转量。

二、复数的定义

既然 i 表示旋转量,我们就可以用 i ,表示任何实数的旋转状态。

bg2012092404.png

将实数轴看作横轴,虚数轴看作纵轴,就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数,必然唯一对应这个平面中的某个点。

只要确定横坐标和纵坐标,比如( 1 , i ),就可以确定某个实数的旋转量(45度)。

数学家用一种特殊的表示方法,表示这个二维坐标:用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如,把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数(complex number),其中 1 称为实数部,i 称为虚数部。

为什么要把二维坐标表示成这样呢,下一节告诉你原因。

三、虚数的作用:加法

虚数的引入,大大方便了涉及到旋转的计算。

bg2012092405.png

比如,物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ,另一个力是 1 + 3i ,请问它们的合成力是多少?

bg2012092406.png

根据"平行四边形法则",你马上得到,合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。

这就是虚数加法的物理意义。

四、虚数的作用:乘法

如果涉及到旋转角度的改变,处理起来更方便。

bg2012092407.png

比如,一条船的航向是 3 + 4i 。

如果该船的航向,逆时针增加45度,请问新航向是多少?

bg2012092408.png

45度的航向就是 1 + i 。计算新航向,只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了(原因在下一节解释):

  ( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以,该船的新航向是 -1 + 7i 。

如果航向逆时针增加90度,就更简单了。因为90度的航向就是 i ,所以新航向等于:

  ( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

这就是虚数乘法的物理意义:改变旋转角度。

五、虚数乘法的数学证明

为什么一个复数改变旋转角度,只要做乘法就可以了?

下面就是它的数学证明,实际上很简单。

bg2012092409.png

任何复数 a + bi,都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。

假定现有两个复数 a + bi 和 c + di,可以将它们改写如下:

  a + bi = r1 * ( cosα + isinα )

  c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )

这两个复数相乘,( a + bi )( c + di ) 就相当于

  r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )

展开后面的乘式,得到

  cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )

根据三角函数公式,上面的式子就等于

  cos(α+β) + isin(α+β)

所以,

  ( a + bi )( c + di ) = r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )

这就证明了,两个复数相乘,就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。

(完)

转载于:https://my.oschina.net/tingzi/blog/80271

<think>我们正在讨论虚数的概念和应用。根据引用[1],虚数是复数的一部分,复数由实部和虚部组成,形式为a+bi,其中a是实部,b是虚部,i是虚数单位(满足i²=-1)。虚数数学中用于表示平面上的点,特别是旋转和相位处理。在编程中,虚数也有广泛应用。引用[2]提到Python的abs()函数可以处理复数,返回复数的模(即sqrt(a²+b²))。引用[3]和[4]则提到MATLAB中虚数单位用i或j表示,并用于各种数学运算和工程计算。因此,我们可以从数学和编程两个方面来介绍虚数的应用。###数学中的应用1.**表示旋转和相位**:复数可以表示二维平面上的点,复数的乘法等价于旋转和缩放。例如,乘以虚数单位i相当于逆时针旋转90度。2.**解决方程**:虚数允许我们求解一些实数范围内无解的方程,如x²+1=0的解为x=±i。3.**信号处理**:在傅里叶变换中,复数用于表示信号的幅度和相位。4.**电路分析**:在交流电路分析中,复数(称为相量)用于表示电压和电流的幅度和相位。###编程中的应用在编程语言中,如Python和MATLAB,都支持复数类型和相应的运算。####Python示例在Python中,复数用`j`表示虚部(如`1+2j`)。我们可以进行复数的基本运算:```python#创建复数z1=3+4jz2=1-2j#加减法print(z1+z2)#(4+2j)print(z1-z2)#(2+6j)#乘法print(z1*z2)#(3*1+3*(-2j)+4j*1+4j*(-2j))=3-6j+4j-8j²=3-2j+8=11-2j#除法print(z1/z2)#需要计算:分子分母同乘分母的共轭#模print(abs(z1))#5.0(因为sqrt(3^2+4^2)=5)#实部和虚部print(z1.real)#3.0print(z1.imag)#4.0```####MATLAB示例在MATLAB中,复数同样用`i`或`j`表示:```matlab%创建复数z1=3+4i;z2=1-2i;%加减法z_sum=z1+z2;%4+2iz_diff=z1-z2;%2+6i%乘法z_prod=z1*z2;%3*1+3*(-2i)+4i*1+4i*(-2i)=3-6i+4i-8i^2=3-2i+8=11-2i%除法z_div=z1/z2;%计算:(3+4i)/(1-2i)分子分母同乘(1+2i)%模magnitude=abs(z1);%5%实部和虚部real_part=real(z1);%3imag_part=imag(z1);%4```###总结虚数数学中扩展了实数的概念,使得我们能够处理更广泛的问题,特别是在几何变换和信号处理领域。在编程中,复数作为一种基本数据类型,为科学计算和工程应用提供了便利。§§相关问题§§1.如何用复数表示二维平面上的旋转?2.在信号处理中,复数有哪些具体应用?3.Python中除了基本运算,还有哪些处理复数的库函数?4.MATLAB中复数运算与实数运算有什么不同?</think>### 虚数的概念与应用 虚数是复数的重要组成部分,其核心定义为 $i = \sqrt{-1}$(满足 $i^2 = -1$)。在数学和编程中,虚数通过**复数**形式($a + bi$)发挥关键作用,其中 $a$ 是实部,$b$ 是虚部。 #### 一、数学中的核心应用 1. **几何表示** 复数可视为二维平面上的点(实部为横轴,虚部为纵轴)。例如: $3 + 4i$ 对应坐标点 $(3, 4)$ 复数的模(绝对值)表示到原点的距离:$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$[^1] 2. **旋转运算** 复数乘法等价于旋转操作: - 乘 $i$ 表示逆时针旋转 $90^\circ$ - 一般旋转公式:$(\cos\theta + i\sin\theta) \times z$[^1] 3. **方程求解** 解决实数范围内无解的问题,如: $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x = \pm i$ #### 二、编程中的实际应用 1. **Python 实现** ```python # 创建复数 z = 3 + 4j # 注意虚部用 j 表示 print("实部:", z.real) # 输出 3.0 print("虚部:", z.imag) # 输出 4.0 print("模长:", abs(z)) # 输出 5.0(勾股定理计算)[^2] ``` 2. **MATLAB 实现** ```matlab % 创建复数 z = 3 + 4i; % MATLAB 使用 i 或 j disp(['实部: ', num2str(real(z))]); % 输出 3 disp(['虚部: ', num2str(imag(z))]); % 输出 4 disp(['模长: ', num2str(abs(z))]); % 输出 5[^3][^4] ``` 3. **工程应用场景** - **信号处理**:傅里叶变换中复数表示频率分量 - **电路分析**:交流电路阻抗计算($Z = R + jX$) - **控制系统**:传递函数分析稳定性 - **量子力学**:波函数描述 #### 三、典型计算示例 复数乘法: $$(2 + 3i) \times (1 - 2i) = 2\cdot1 + 2\cdot(-2i) + 3i\cdot1 + 3i\cdot(-2i) = 2 -4i +3i -6i^2 = 2 -i +6 = 8 - i$$ ---
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