负数的二进制表示方法

原文连接:http://blog.sina.com.cn/s/blog_56d8ea900100y65b.html


一:表示法:

1、正数5的表示法

假设有一个 int 类型的数,值为5,那么,我们知道它在计算机中表示为:
00000000 00000000 00000000 00000101
5转换成二制是101,不过int类型的数占用4字节(32位),所以前面填了一堆0。

2、负数-5的表示法

现在想知道,-5在计算机中如何表示?在计算机中,负数以原码的补码形式表达。

二、概念:

1、原码:

一个正数,按照绝对值大小转换成的二进制数;一个负数按照绝对值大小转换成的二进制数,然后最高位补1,称为原码。
比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的 原码。
     10000000 00000000 00000000 00000101 是 -5的 原码。
 
   备注:
   比如byte类型,用2^8来表示无符号整数的话,是0 - 255了;如果有符号, 最高位表示符号,0为正,1为负,那么,正常的理解就是 -127 至 +127 了.这就是原码了,值得一提的是,原码的弱点,有2个0,即+0和-0(10000000和00000000);还有就是,进行异号相加或同号相减时,比较笨蛋,先要判断2个数的绝对值大小,然后进行加减操作,最后运算结果的符号还要与大的符号相同;于是,反码产生了。

2、反码

正数的反码与原码相同,负数的反码为对该数的原码除符号位外各位取反[每一位取反(除符号位)]。
取反操作指:原为1,得0;原为0,得1。(1变0; 0变1)
比如:正数00000000 00000000 00000000 00000101  的反码还是 00000000 00000000 00000000 00000101
      负数10000000 00000000 00000000 00000101  的反码则是 11111111 11111111 11111111 11111010。

反码是相互的,所以也可称:10000000 00000000 00000000 00000101 和 11111111 11111111 11111111 11111010互为反码。

备注:还是有+0和-0,没过多久,反码就成为了过滤产物,也就是,后来补码出现了。

3、补码

正数的补码与原码相同,负数的补码为对该数的原码除符号位外各位取反,然后在最后一位加1.
比如:10000000 00000000 00000000 00000101 的补码是:11111111 11111111 11111111 11111010。
那么,补码为:
11111111 11111111 11111111 11111010 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11111011

备注:1、从补码求原码的方法跟原码求补码是一样的 ,也可以通过完全逆运算来做,先减一,再取反。
      2、补码却规定0没有正负之分

所以,-5 在计算机中表达为:11111111 11111111 11111111 11111011。转换为十六进制:0xFFFFFFFB。


三、再举一例

我们来看整数-1在计算机中如何表示。假设这也是一个int类型,那么:
1、先取-1的原码:10000000 00000000 00000000 00000001
2、得反码:     11111111 11111111 11111111 11111110(除符号位按位取反)
3、得补码:     11111111 11111111 11111111 11111111

可见,-1在计算机里用二进制表达就是全1。16进制为:0xFFFFFF

四、主要知识点


正数的反码和补码都与原码相同。
负数的反码为对该数的原码除符号位外各位取反。
负数的补码为对该数的原码除符号位外各位取反,然后在最后一位加1

源码:优点在于换算简单 缺点在于两个零 加减法需要独立运算
反码:有点在于表示清晰 缺点在于两个零 加减法同样需要独立运算
补码:优点在于一个零 范围大  减法可以转为加法 缺点在于理解困难

下面是书上原文:

原码表示法规定:用符号位和数值表示带符号数,正数的符号位用“0”表示,负数的符号位用“1”表示,数值部分用二进制形式表示。
反码表示法规定:正数的反码与原码相同,负数的反码为对该数的原码除符号位外各位取反。
补码表示法规定:正数的补码与原码相同,负数的补码为对该数的原码除符号位外各位取反,然后在最后一位加1.
正零和负零的补码相同,[+0]补=[-0]补=0000 0000B

五、特殊情况-128

1000 0000,那么,它的原码是什么呢?从补码求原码的方法跟原码求补码是一样的。先保留符号位其它求反:  1111 1111, 再加1,11000 0000, 超过了8位了。对,用8位数的原码在这里已经无法表示了。

那么,回到原码处, 它的原码也是 1000 0000(超出的自动丢失),1000 0000 在原码表示什么呢? -0, 但补码却规定0没有正负之分。
转换一下思路,看看计算机里,是怎么运算的:
对于负数,先取绝对值,然后求反,加一
-128 -> 128 -> 1000 0000 -> 0111 1111 -> 1000 0000
现在明确了吧
所以, 8位有符号的整数取值范围的补码表示
1000 0000 到 0000 0000, 再到 0111 1111
即 -128 到 0, 再到 127
最终 -128 ~ +127

永远记住:程序里的加减法对 二进制是永远有效的。但是并不一定适合于真实世界。

byte m = -128;
byte q = 1;
byte p = (byte)(m - q); //这一步其实编译器会报错,其实是发现越界了,我们强行转化为byte就可以看出结果。
System.out.println( p); p的结果为:127

<think>我们正在讨论负数在计算机中的二进制表示方法。根据引用[2]所述,负数在计算机中以原码的补码形式表示。我们需要解释原码、反码和补码的概念,并说明为什么使用补码。步骤:1.原码:最高位表示符号位(0为正,1为负),其余位表示数值的绝对值。例如,假设8位二进制:+5的原码:00000101-5的原码:100001012.反码:正数的反码与原码相同;负数的反码是原码的符号位不变,其余位按位取反。例如:-5的原码:10000101-5的反码:111110103.补码:正数的补码与原码相同;负数的补码是其反码加1(进位按二进制规则)。例如:-5的反码:11111010加1:11111011(这就是-5的补码)为什么使用补码?-补码的主要目的是简化计算机的加减法运算,使得加法和减法可以使用同一套加法电路来实现。-使用补码可以消除+0和-0的不唯一性问题(原码和反码中,0有两种表示:00000000和10000000,而补码中0只有一种表示:00000000)。-补码表示中,符号位可以直接参与运算,无需单独处理。另外,引用[1]提到模的概念:在模运算中,负数的补码可以看作是该负数加上模的结果(模为2^n,n为位数)。例如,在8位系统中,模为2^8=256。-5的补码计算:相当于256-5=251,251的二进制就是11111011,与上面计算一致。因此,在计算机中,负数二进制表示就是其补码形式。示例(8位有符号整数):+5:00000101-5:11111011注意:补码表示的范围。对于n位有符号整数,补码表示的范围是[-2^(n-1),2^(n-1)-1]。例如8位:最小值为-128(10000000),最大值为127(01111111)。我们还可以验证补码的加法:5+(-5)=00000101+11111011=100000000(9位),由于只有8位,最高位1被丢弃,结果为00000000(即0),正确。因此,总结负数二进制表示方法:取绝对值的原码->取反(得到反码)->加1(得到补码)。我们也可以直接通过模运算:负数x的补码=2^n+x(这里x是负数,n是位数)。根据上述内容,我们可以用结构化的方式回答用户的问题。</think>### 负数二进制表示:补码原理详解 #### 一、核心概念:补码表示法 计算机中负数采用**补码(Two's Complement)** 表示,这是现代计算机系统的通用标准。其核心优势是: 1. **统一加减法运算**:加法电路可直接处理减法 2. **消除+0/-0歧义**:0只有唯一表示[^1] 3. **符号位参与运算**:无需额外处理符号位[^2] #### 二、转换步骤(以8位系统为例) 设需表示负数 -5: 1. **取绝对值原码** $+5_{10} = 0000\,0101_2$ `// 最高位0表示正数` 2. **按位取反(得反码)** $0000\,0101_2 \xrightarrow{\text{取反}} 1111\,1010_2$ `// 反码:符号位不变,其余位翻转` 3. **末位加1(得补码)** $1111\,1010_2 + 1_2 = 1111\,1011_2$ `// -5的最终二进制表示` $$ \boxed{-5_{10} = 1111\,1011_2} $$ #### 三、数学原理:模运算 补码本质是**模 $2^n$ 的算术系统**(n为位数): - **定义**:负数 $x$ 的补码 = $2^n + x$ - **8位系统示例**: $-5_{10}$ 的补码 = $2^8 + (-5)$ = $256 - 5$ = $251_{10}$ $251_{10} = 1111\,1011_2$(验证通过) - **溢出特性**: $1111\,1011_2 + 0000\,0101_2 = 1\,0000\,0000_2$ 最高位溢出 → $0000\,0000_2 = 0$(正确结果)[^1] #### 四、表示范围与特性 | 位数 | 最小值(二进制) | 最大值(二进制) | 数值范围 | |------|------------------|------------------|----------------| | 8位 | $1000\,0000_2$ | $0111\,1111_2$ | $[-128, 127]$ | | 32位 | $8000\,0000_H$ | $7FFF\,FFFF_H$ | $[-2^{31}, 2^{31}-1]$ | **特殊值**: - $0$:$0000\,0000_2$ - $-1$:$1111\,1111_2$ - $-128$(8位最小值):$1000\,0000_2$ #### 五、验证实验(Python) ```python # 验证-5的补码表示 num = -5 bits = num.to_bytes(1, byteorder='big', signed=True) # 获取8位表示 print(f"二进制: {bin(bits[0])}") # 输出: 0b11111011 (11111011) # 补码加法验证 result = bytes([0b00000101 + 0b11111011]) # 5 + (-5) print(int.from_bytes(result, 'big', signed=True)) # 输出: 0 (溢出后归零) ``` ```mermaid graph LR A[负数-x] --> B[取绝对值原码] B --> C[按位取反得反码] C --> D[末位加1得补码] D --> E[存储补码] ``` #### 六、为什么用补码? 1. **硬件简化**:ALU无需区分加减法指令 2. **运算一致性**:$a - b = a + (-b)$ 直接成立 3. **范围对称**:负数比正数多一个(如8位时-128无对应正数)
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