负数的二进制表示

我们已经知道计算机中,所有数据最终都是使用二进制数表达。
我们也已经学会如何将一个10进制数如何转换为二进制数以及如何将如何将一个16进制数如何转换为二进制数,详见下图。

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不过,我们仍然没有学习一个负数如何用二进制表达。
比如,假设有一 int 类型的数,值为5,那么,我们知道它在计算机中表示为:00000000 00000000 00000000 00000101
5转换成二制是101,不过int类型的数占用4字节(32位),所以前面填了一堆0。
现在想知道,-5在计算机中如何表示?

在计算机中,负数以其正值的补码形式表达
什么叫补码呢?这得从原码,反码说起。
原码:一个整数,按照绝对值大小转换成的二进制数,称为原码。
比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的 原码。
反码:将二进制数按位取反,所得的新二进制数称为原二进制数的反码。
取反操作指:原为1,得0;原为0,得1。(1变0; 0变1)
比如:将00000000 00000000 00000000 00000101每一位取反,得11111111 11111111 11111111 11111010
称:11111111 11111111 11111111 1111101000000000 00000000 00000000 00000101 的反码。
反码是相互的,所以也可称:
11111111 11111111 11111111 1111101000000000 00000000 00000000 00000101 互为反码。
补码:反码加1称为补码。
也就是说,要得到一个数的补码,先得到反码,然后将反码加上1,所得数称为补码。
比如:00000000 00000000 00000000 00000101的反码是:11111111 11111111 11111111 11111010
那么,补码为:
11111111 11111111 11111111 11111010 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11111011
所以,-5 在计算机中表达为:11111111 11111111 11111111 11111011
转换为十六进制:0xFFFFFFFB
再举一例,我们来看整数-1在计算机中如何表示。
假设这也是一个int类型,那么:
1、先取1的原码:00000000 00000000 00000000 00000001
2、得反码:     11111111 11111111 11111111 11111110
3、得补码:     11111111 11111111 11111111 11111111
可见,-1在计算机里用二进制表达就是全1。16进制为:0xFFFFFF。

<think>我们正在讨论负数在计算机中的二进制表示方法。根据引用[2]所述,负数在计算机中以原码的补码形式表示。我们需要解释原码、反码和补码的概念,并说明为什么使用补码。步骤:1.原码:最高位表示符号位(0为正,1为),其余位表示数值的绝对值。例如,假设8位二进制:+5的原码:00000101-5的原码:100001012.反码:正数的反码与原码相同;负数的反码是原码的符号位不变,其余位按位取反。例如:-5的原码:10000101-5的反码:111110103.补码:正数的补码与原码相同;负数的补码是其反码加1(进位按二进制规则)。例如:-5的反码:11111010加1:11111011(这就是-5的补码)为什么使用补码?-补码的主要目的是简化计算机的加减法运算,使得加法和减法可以使用同一套加法电路来实现。-使用补码可以消除+0和-0的不唯一性问题(原码和反码中,0有两种表示:00000000和10000000,而补码中0只有一种表示:00000000)。-补码表示中,符号位可以直接参与运算,无需单独处理。另外,引用[1]提到模的概念:在模运算中,负数的补码可以看作是该负数加上模的结果(模为2^n,n为位数)。例如,在8位系统中,模为2^8=256。-5的补码计算:相当于256-5=251,251的二进制就是11111011,与上面计算一致。因此,在计算机中,负数二进制表示就是其补码形式。示例(8位有符号整数):+5:00000101-5:11111011注意:补码表示的范围。对于n位有符号整数,补码表示的范围是[-2^(n-1),2^(n-1)-1]。例如8位:最小值为-128(10000000),最大值为127(01111111)。我们还可以验证补码的加法:5+(-5)=00000101+11111011=100000000(9位),由于只有8位,最高位1被丢弃,结果为00000000(即0),正确。因此,总结负数二进制表示方法:取绝对值的原码->取反(得到反码)->加1(得到补码)。我们也可以直接通过模运算:负数x的补码=2^n+x(这里x是负数,n是位数)。根据上述内容,我们可以用结构化的方式回答用户的问题。</think>### 负数二进制表示:补码原理详解 #### 一、核心概念:补码表示法 计算机中负数采用**补码(Two's Complement)** 表示,这是现代计算机系统的通用标准。其核心优势是: 1. **统一加减法运算**:加法电路可直接处理减法 2. **消除+0/-0歧义**:0只有唯一表示[^1] 3. **符号位参与运算**:无需额外处理符号位[^2] #### 二、转换步骤(以8位系统为例) 设需表示负数 -5: 1. **取绝对值原码** $+5_{10} = 0000\,0101_2$ `// 最高位0表示正数` 2. **按位取反(得反码)** $0000\,0101_2 \xrightarrow{\text{取反}} 1111\,1010_2$ `// 反码:符号位不变,其余位翻转` 3. **末位加1(得补码)** $1111\,1010_2 + 1_2 = 1111\,1011_2$ `// -5的最终二进制表示` $$ \boxed{-5_{10} = 1111\,1011_2} $$ #### 三、数学原理:模运算 补码本质是**模 $2^n$ 的算术系统**(n为位数): - **定义**:负数 $x$ 的补码 = $2^n + x$ - **8位系统示例**: $-5_{10}$ 的补码 = $2^8 + (-5)$ = $256 - 5$ = $251_{10}$ $251_{10} = 1111\,1011_2$(验证通过) - **溢出特性**: $1111\,1011_2 + 0000\,0101_2 = 1\,0000\,0000_2$ 最高位溢出 → $0000\,0000_2 = 0$(正确结果)[^1] #### 四、表示范围与特性 | 位数 | 最小值(二进制) | 最大值(二进制) | 数值范围 | |------|------------------|------------------|----------------| | 8位 | $1000\,0000_2$ | $0111\,1111_2$ | $[-128, 127]$ | | 32位 | $8000\,0000_H$ | $7FFF\,FFFF_H$ | $[-2^{31}, 2^{31}-1]$ | **特殊值**: - $0$:$0000\,0000_2$ - $-1$:$1111\,1111_2$ - $-128$(8位最小值):$1000\,0000_2$ #### 五、验证实验(Python) ```python # 验证-5的补码表示 num = -5 bits = num.to_bytes(1, byteorder='big', signed=True) # 获取8位表示 print(f"二进制: {bin(bits[0])}") # 输出: 0b11111011 (11111011) # 补码加法验证 result = bytes([0b00000101 + 0b11111011]) # 5 + (-5) print(int.from_bytes(result, 'big', signed=True)) # 输出: 0 (溢出后归零) ``` ```mermaid graph LR A[负数-x] --> B[取绝对值原码] B --> C[按位取反得反码] C --> D[末位加1得补码] D --> E[存储补码] ``` #### 六、为什么用补码? 1. **硬件简化**:ALU无需区分加减法指令 2. **运算一致性**:$a - b = a + (-b)$ 直接成立 3. **范围对称**:负数比正数多一个(如8位时-128无对应正数)
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