POJ 3666 Making the Grade（区间dp）

最新推荐文章于 2024-03-09 22:29:01 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/jerryRey/p/4887118.html

本文介绍了一种算法，用于解决将序列调整为非递减形式并使总成本最小的问题。通过动态规划方法，定义状态 dp[i][j] 表示前 i 个数的最小花费，其中第 i 个数的取值为序列中的第 j 大值。通过限制取值范围和优化状态转移，达到了 O(n^2) 的时间复杂度。

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修改序列变成非递减序列，使得目标函数最小。（这题数据有问题，只要求非递减

从左往右考虑，当前a[i]≥前一个数的取值，当固定前一个数的取值的时候我们希望前面操作的花费尽量小。

所以状态可以定义为dp[i][j]表示第i个数的取值为j时前i个数的最小花费。

但是问题在于j的范围非常大，实际上可以限制j的范围属于序列中的值，（离散

假设b[k]表示a[]中第k大，那么取值范围为(b[k-1],b[k]]对后面决策的影响是一样的。（假设b[-1]为-INF，还有一个取值范围是[max(a[i]),INF)，这样取值肯定不是最优的

比如a[i]取最小值，和a[i]取最小值-1对后面决策的影响是一样的，而且花费更少。

综上，j定义可以修改为取值为序列第j大。

转移为dp[i][j] = min(dp[i-1][k]) + cost(i,j),k≤j。//cost由目标函数决定，这里是abs之差

利用min的传递性可以O(1)转移，加上滚动数组将空间优化到O(n)。

时间复杂度为O(n^2)

左偏树的做法和目标函数的性质有关，时间复杂度更低，但是更难写。划分树也可以。（都不会

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
//#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 2001;
int a[maxn],b[maxn];

int dp[maxn];

//#define LOCAL
int main()
{
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
    int n; scanf("%d",&n);
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d",a+i);
    memcpy(b,a,sizeof(int)*n);
    sort(b,b+n);
    //dp zero
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int mn = 1<<30;
        for(int j = 0; j < n; j++){
            mn = min(mn,dp[j]);
            dp[j] = mn+abs(a[i]-b[j]);
        }
    }
    printf("%d\n",*min_element(dp,dp+n));
    return 0;
}

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