多元线性回归

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#数据结构与算法 #r语言 #python

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例

使用基础包中state.x77的数据集，想研究犯罪率与其他的关系

states <- as.data.frame(state.x77[,c("Murder", "Population", 
                                     "Illiteracy", "Income", "Frost")]) #矩阵转化为数据框

检查变量间的相关性

> cor(states)
               Murder Population Illiteracy     Income      Frost
Murder      1.0000000  0.3436428  0.7029752 -0.2300776 -0.5388834
Population  0.3436428  1.0000000  0.1076224  0.2082276 -0.3321525
Illiteracy  0.7029752  0.1076224  1.0000000 -0.4370752 -0.6719470
Income     -0.2300776  0.2082276 -0.4370752  1.0000000  0.2262822
Frost      -0.5388834 -0.3321525 -0.6719470  0.2262822  1.0000000

绘制散点图矩阵，注意使用的是scatterplotMatrix()，观察相关性

#如下图
library(car)  
#scatterplot(states,spread=FALSE,smoother.args=list(lyt=2),main="Scatter Plot Matrix")
#scatterplot是绘制二维变量的时候使用scatterplot(x~y,spread=F,smoother.args=list[lyt=2],main="xx")

scatterplotMatrix(states,spread=FALSE,smoother.args=list(lyt=2),main="Scatter Plot Matrix")

拟合多元线性回归模型

> fit <- lm(Murder ~ Population + Illiteracy + Income + Frost, data=states)
> summary(fit)

Call:
lm(formula = Murder ~ Population + Illiteracy + Income + Frost, 
    data = states)

Residuals:  #残差的统计量，中位数接近0，表示接近标准正态分布，因为标准正态分布的中位数为0
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-4.7960 -1.6495 -0.0811  1.4815  7.6210 

Coefficients: #coefficents为：系数的意思
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)     # estimate 意思为：估计量（值）  std.error表示标准误 ,t value ：表示系数的t值，Pr(>|t|系数的p值
(Intercept) 1.235e+00  3.866e+00   0.319   0.7510     #Intercept 为 截距
Population  2.237e-04  9.052e-05   2.471   0.0173 *  
Illiteracy  4.143e+00  8.744e-01   4.738 2.19e-05 *** #“*”号越多表示越显著              2.19e-05表示科学计数法， 2.19*10的负5次方即0.0000219
Income      6.442e-05  6.837e-04   0.094   0.9253    
Frost       5.813e-04  1.005e-02   0.058   0.9541    
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 2.535 on 45 degrees of freedom   #Residual standard error 意思为：标准差，残差标准误，剩余标准差
Multiple R-squared:  0.567,	Adjusted R-squared:  0.5285   #Multiple R-squared 意思为判定系数
F-statistic: 14.73 on 4 and 45 DF,  p-value: 9.133e-08    #整句话为模型的整体检验，就是F检验，F-statistic为F-统计量，p-value为 p值，


#在统计学上 回归系数需要进行检验，回归系数是通过样本计算的，因而带有一定的随机性
#对r进行检验 ，如 y = β1 + β2X
# H0: β2 = 0,回归系数在统计上不显著，解释变量 X 对 Y 无显著影响
# H1: β2 ≠ 0，回归系数在统计上显著，解释变量 X 对 Y 有显著影响
#构建统计量：t检验
#决策：如果 |t| >= ta/2,落入拒绝域，拒绝 H0，接受H1，证明 系数在统计上是显著的，如果 |t| <= ta/2，则接受 H0，表明系数在统计上是不显著的
      #利用 p值决策，如果 p <= a，表示比小概率事件否发生了，所以要拒绝 H0，解释变量X 对解释变量 Y 有显著影响，相反 p <= a，接受H0，解释变量 X 对被解释变量 Y  无显著影响

#更多参考链接：简单线性相关系数r及检验，p值决策

当预测变量不止一个时，回归系数的含义为：一个预测变量增加一个单位，其他预测变量保持不变时，因变量将要增加的数量

本例中，文盲率的回归系数为4.14，表示控制人口、收入和温度不变时，文盲率上升1%，谋杀率将会上升4.14%，它的系数在 p < 0.001的水平下显著不为 0。

相反，Frost的系数没有显著不为 0 （p=0.945），表明当控制其他变量不变时，Frost 与 Murder不呈线性相关。

总体来说，所有的预测变量解释了各州谋杀率57%的方差

参考

简单线性相关系数 r 及检验

p值决策

R语言如何直接提取回归中的t值和P值 - R语言论坛 - 经管之家(原人大经济论坛)

R语言之线性回归分析

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