matlab 古典概率求解,第1章数学建模古典概型解答.ppt

第1章 古典概型 1.1 验证性实验 1.2 设计性试验 1.3 综合性实验 Monte Carlo 方法的基本思想是首先建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量。 然后通过模拟统计试验， 即多次随机抽样试验 (确定 m 和 n )， 统计出某事件发生的频率。只要试验次数很大，该频率便近似于事件发生的概率。利用建立的概率模型，求出要估计的参数。 Monte Carlo 方法实质上是试验数学的一个分支。 【实验过程】 在Matlab的Medit窗口建立文件buffon．m： function buffon(n) l=1; d=2; m=0 ; for k = l:n y= unifrnd( 0, d /2 ); x= unifrnd( 0 , pi ); if y<0.5*l*sin(x) m=m+1 ; else m=m; end end p=m/n PI=1/p 然后在命令窗口输入如下命令， >>for n=10000:10000:100000; >>buffon(n); >>end 运行后运行结果如下： p = 0.3178 PI = 3.1466 p = 0.3144 PI = 3.1807 p = 0.3192 PI = 3.1325 p = 0.3178 PI = 3.1469 p = 0.3189 PI = 3.1354 p = 0.3153 PI = 3.1716 p = 0.3176 PI = 3.1489 p = 0.3193 PI = 3.1316 p = 0.3208 PI = 3.1171 p = 0.3192 PI = 3.1327 思考： 1) 在上述的程序中任意调整 n 的取值，会发现什么规律？ 2) 参数 l ， d 的不同选择，会导致什么结果？ Monte Carlo 方法适用范围很广泛，它既能求解确定性的问题，也能求解随机性的问题以及科学研究中的理论问题。例如利用Monte Carlo 方法可以近似地计算定积分，即产生数值积分问题。 这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率？如果严格按照上述的条件的话，答案是会。换门的话，赢得汽车的机率是2/3。 这个问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。 以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自CraigF.Whitaker于1990年寄给《展示杂志》(ParadeMagazine)玛莉莲·莎凡(MarilynvosSavant)专栏的信件：假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号 门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？ 蒙特霍尔问题的结论是如此的与我们的直觉相违背，请用概率知识分析这其中的道理，并设计一个试验模拟蒙特霍尔问题，看模拟的结果是否与理论结果一致？ 【实验方案】 蒙特霍尔问题的关键是电视节目主持人为了节目的紧张刺激，故意会打开他事先知道的有羊的门，因此，如果不换的话，参赛者获得汽车的可能性是1/3。如果参赛者要更换选择，则他将会面临三种等可能性的情况： 参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号，更换选择将赢得汽车。 参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号，更换选择将赢得汽车。 参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头，更换选择将不会赢得汽车。 在头两种情况，参赛者可以通过更换选择而赢得汽车，第三种情况是唯一一种参赛者通过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是通过更换选择而赢的，所以通过更换选择而赢的概率是2/3。 另一种解答是假设你永远都会更换选择，这时赢的唯一可能性就是选一扇没有车的门，因为主持人其后必定会开启另外一扇有山羊的门，消除了更换选择后选到另外一只羊的可能性。因为门的总