洛谷 P4538 收集邮票

邮票收集问题

最新推荐文章于 2025-02-06 16:59:17 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/JYYHH/p/9021070.html

本文解决了一个数学期望问题，即计算收集n种不同邮票所需的平均花费。通过建立递推方程，利用C++实现了求解过程。

题目描述

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。
现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

输入输出格式

输入格式：

一行,一个数字N
N<=10000

输出格式：

要付出多少钱.
保留二位小数

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

21.25

/* QWQWQ手机丢了好难过 */

设 f[i] 为已经有了i种票，到结束的期望轮数。

f[i] = 0 (i==n) or (n-i)/n * f[i+1] + i/n * f[i] + 1 (i<n)
∴ f[i] = 0 (i==n) or f[i+1] + n/(n-i) (i<n)

再设 g[i] 为已经有了i种票，到结束的期望花费(准确的说是假设这一次取的花费是1，剩下的都比之前大1的花费)
则 g[i] = (g[i+1] + f[i+1]) * (n-i)/n + (g[i] + f[i]) * i/n + 1

(这一次花费是1，但是以后是从2开始，为了钦定从1开始我们要把后面每一轮的花费-1然后加到这里来)

化简得 g[i] = g[i+1] + f[i+1] + i/(n-i) * f[i] + n/(n-i)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define D double
using namespace std;
const int maxn=10005;
D f[maxn],g[maxn];
int N;
int main(){
	scanf("%d",&N);
	for(int i=N-1;i>=0;i--) f[i]=f[i+1]+N/(D)(N-i);
	for(int i=N-1;i>=0;i--) g[i]=g[i+1]+f[i+1]+i/(D)(N-i)*f[i]+N/(D)(N-i);
	printf("%.2lf\n",g[0]);
	return 0;
}

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