BZOJ 1025: [SCOI2009]游戏 [置换群 DP]

最新推荐文章于 2019-03-26 14:12:34 发布

weixin_30920091

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/candy99/p/6479961.html

本文介绍了一种使用动态规划方法求解给定数量的整数构成的排列转换为升序排列的不同步数的问题。核心思路是通过枚举质因子的指数来求最小公倍数，并利用DP表记录不同组合的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门

题意：求$n$个数组成的排列变为升序有多少种不同的步数

步数就是循环长度的$lcm$.....

那么就是求$n$划分成一些数几种不同的$lcm$咯

然后我太弱了这种$DP$都想不出来....

通过枚举每个质因子的指数来求$lcm$

$d[i][j]$表示前$i$个质因子当前和为$j$的方案数

转移枚举质因子的指数

但这样我们忽略了可以划分出$1$，所以统计答案时枚举$j$

或者我们直接初始化$d[0][i]=1$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1005;
typedef long long ll;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
    return x*f;
}
int n;
int p[N];
bool notp[N];
void sieve(int n){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!notp[i]) p[++p[0]]=i;
        for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=n;j++){
            notp[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
}
ll f[N][N];
void dp(){
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=p[0];i++)
        for(int j=0;j<=n;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j];
            for(int k=p[i];k<=j;k*=p[i])
                f[i][j]+=f[i-1][j-k];
        }
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<=n;i++) ans+=f[p[0]][i];
    printf("%lld",ans);
}
int main(){
    freopen("in","r",stdin);
    n=read();
    sieve(n);
    dp();
}

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1005;
typedef long long ll;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
    return x*f;
}
int n;
int p[N];
bool notp[N];
void sieve(int n){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!notp[i]) p[++p[0]]=i;
        for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=n;j++){
            notp[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
}
ll f[N][N];
void dp(){
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) f[0][i]=1;
    for(int i=1;i<=p[0];i++)
        for(int j=0;j<=n;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j];
            for(int k=p[i];k<=j;k*=p[i])
                f[i][j]+=f[i-1][j-k];
        }
    printf("%lld",f[p[0]][n]);
}
int main(){
    freopen("in","r",stdin);
    n=read();
    sieve(n);
    dp();
}