完全二叉树的高度为什么是对lgN向下取整

完全二叉树的高度为什么是对lgN向下取整呢？

说明一下这里的高度：只有根节点的树高度是0。

设一棵完全二叉树节点个数为N，高度为h。所以总节点个数N满足以下不等式：

1 + 2¹ + 2² +……+ 2^h-1 < N <= 1 + 2¹ + 2² +……+ 2^h 即 2^h - 1 < N <= 2^h+1 - 1，所以 2^h < N+1 <= 2^h+1，两边同取以2为底的对数得 h < log₂(N+1) <= h+1。

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若 N+1 = 2^k ，此时完全二叉树为满二叉树，解上述不等式得 h < k <= h+1，所以 k-1 <= h < k，所以 h = k-1。而 log₂N = log₂(2^k -1)，又因为比 2^k -1 小且离其最近的2的幂是 2^k-1 ，

所以 log₂N> log₂(2^k-1) = k-1，因此对 log₂N 向下取整即为 k-1，即二叉树的高度等于对 log₂N 向下取整。

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若 N+1 不等于2的幂，设2^k-1 < N+1 < 2^k，所以 k-1 < log₂(N+1) < k，所以 k-2 < h < k，所以 h = k-1。设此时对应的满二叉树节点数为N₀，所以 k-1 = 对log₂N₀向下取整，

h = k-1 也等于对log₂N₀向下取整。因为 N > 2^k-1 -1，即 N >= 2^k-1，N₀ <= 2^k -1，所以对log₂N₀向下取整等于对 log₂N 向下取整。所以二叉树的高度等于对 log₂N 向下取整。

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证毕。

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