最大公约数---欧几里得算法

求解两个正整数的最大公约数(Greatest Common Devisor)，可以采用循环进行遍历，不过效率很低。所以引入欧几里得算法(Euclid’s algorithm)。

欧几里得算法基于GCD递归引理：

对任意非负整数a和任意正整数b，
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

可以直接写出递归程序：

int GCD(int a, int b)
{   
    if(0 == b)
        return a;
    else
        return GCD(b, a % b);
}

• 复杂度分析
  运行时间与递归调用的次数成正比。

时间复杂度O(lgb)O(lgb)，最坏情况下计算次数N≤5log10bN≤5log10b。

证明：欧几里得算法

• 扩展欧几里得算法
  可以计算出满足下式的三元组(d,x,y)(d,x,y)：
  
  d=GCD(a,b)=ax+byd=GCD(a,b)=ax+by

int Euclid_extend(int a, int b, int* x, int* y)
{
    if(0 == b)
    {
        *x = 1;
        *y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        int r = Euclid_extend(b,a%b,x,y);
        int temp = *x;
        *x = *y;
        *y = temp - (*y)*(a/b);
        return r;
    }
}

简单证明：
b=0b=0是递归基，易得一组解x=1,y=0x=1,y=0;
b≠0b≠0时：
首先递归求解：

d′=gcd(b,a%b)=bx′+(a%b)y′              (1)d′=gcd(b,a%b)=bx′+(a%b)y′              (1)

我们知道：

d=gcd(a,b)=d′=gcd(b,a%b)             (2)d=gcd(a,b)=d′=gcd(b,a%b)             (2)

a%b=a−b∗⌊a/b⌋           (3)a%b=a−b∗⌊a/b⌋           (3)

将(2)(3)式带入(1)：

d=bx′+(a−b⌊a/b⌋)y′=ay′+b(x′−⌊a/b⌋y′)d=bx′+(a−b⌊a/b⌋)y′=ay′+b(x′−⌊a/b⌋y′)

所以，令 x=y′x=y′、 y=x′−⌊a/b⌋y′y=x′−⌊a/b⌋y′，就可以满足 d=ax+byd=ax+by。

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